Um sifão é um aparato para remover líquido de um reservatório. A saída C deve ser mais baixa que a entrada A e o tubo deve inicialmente ser cheio com líquido. A densidade do líquido é
. (a) Com que velocidade o fluido sai em C? (b) Qual é a pressão em B? Qual a altura máxima H que o sifão pode ascender?
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece informação básica sobre um sifão cheio de líquido de densidade
. Vou listar explicitamente o que se pede e o que está dado/pressuposto:
-
Perguntas:
- (a) Com que velocidade o fluido sai em
? - (b) Qual é a pressão em
? - (b) Qual é a altura máxima
que o sifão pode ascender (ou seja, a máxima elevação do ponto mais alto do tubo acima da superfície livre do reservatório)?
- (a) Com que velocidade o fluido sai em
-
Informações / definições que vou usar (o enunciado não dá alturas numéricas, então uso variáveis):
- Denoto por
a cota vertical da superfície livre do reservatório (ponto ). - Denoto por
a cota do ponto mais alto do tubo (ponto ). - Denoto por
a cota do orifício de saída (ponto ). - Defino a altura de subida do sifão como
(altura do ponto mais alto acima da superfície livre). - A densidade do líquido é
. - A aceleração da gravidade é
. - Presumo que o reservatório é muito maior que o tubo, logo a velocidade na superfície livre é desprezível (
). - Presumo escoamento estacionário, fluido incompressível, perdas por atrito desprezíveis e o tubo está inicialmente cheio.
- A pressão atmosférica é
. O vapor do líquido tem pressão de vapor (se for necessário para a máxima altura).
- Denoto por
Passo 2
Princípio que vou usar e explicação didática do que cada termo representa.
- Ferramenta básica: a equação de Bernoulli (para escoamento estacionário e sem perdas) entre dois pontos 1 e 2 vale:
Aqui:
-
é a pressão (Pa) no ponto, -
é a densidade do fluido (kg/m^3), -
é a aceleração da gravidade (m/s^2), -
é a altura vertical (m) do ponto em relação a uma referência conveniente, -
é a velocidade do fluido naquele ponto (m/s).
Interpretação física: a soma da pressão, da energia potencial por unidade de volume (
) e da energia cinética por unidade de volume (
) é constante ao longo do escoamento (se ignorarmos perdas). É como dizer que “energia por unidade de volume” se conserva.
- Observações úteis para o sifão:
- A superfície livre do reservatório (ponto
) está aberta à atmosfera, então . - O orifício de saída
também está normalmente aberto à atmosfera, então . - A velocidade na superfície livre é muito pequena se o reservatório é grande, então
. - No tubo, em regime estacionário e com área constante, a velocidade em
e em é a mesma: .
- A superfície livre do reservatório (ponto
Passo 3
Resposta da letra (a): velocidade de saída em
.
- Aplico Bernoulli entre a superfície livre
e o ponto de saída . Escrevo a equação e substituo e :
- Os termos
cancelam. Isolo :
- Portanto a velocidade de saída em
é
Explicação intuitiva: é a mesma fórmula de Torricelli — a velocidade depende só da diferença de altura entre a superfície livre e o orifício de saída. A energia potencial perdida ao descer essa diferença de altura vira energia cinética.
Passo 4
Resposta da letra (b) parte 1: pressão em
.
- Vou aplicar Bernoulli entre a superfície livre
e o ponto mais alto . Escrevo:
- Substituo
, e . Assim:
- Isolando
:
- Agora uso o resultado do passo anterior para eliminar
: . Substituindo:
- Simplificando:
- Outra forma mais direta (Bernoulli entre
e , onde e ) dá o mesmo:
- Interpretação clara: se
(o mais alto está acima da saída), então é negativo e . A pressão no topo é menor que a atmosférica por uma quantidade .
Passo 5
Resposta da letra (b) parte 2: altura máxima
que o sifão pode ascender.
- Definição:
(altura do ponto mais alto acima da superfície livre). - Usando a expressão já obtida em passo 4 em outra forma (antes de eliminar
), temos:
- Condição física para o sifão funcionar: a pressão no ponto mais alto
não pode cair abaixo da pressão de vapor do líquido (se cair, o líquido vaporiza no topo e o sifão perde o enchimento, interrompendo o fluxo). Portanto exigimos
- Substituindo
e isolando :
- Observações importantes:
- O termo
mostra que, quanto maior a velocidade (maior vazão), menor pode ser a altura máxima sem vaporizar. Em outras palavras, fluxo rápido reduz a altura admissível. - O caso limite para a maior possível altura de subida (quando a velocidade tende a zero, fluxo quase nulo) é obtido ao desprezar o termo dinâmico:
- O termo
- Se você simplificar ainda mais tomando
(ou seja, pedindo a altura até onde a pressão absoluta chega a zero, o que é um limite teórico), fica
- Exemplo numérico (útil para sentir a escala): para água à temperatura ambiente,
, e . Então
se desprezarmos
. Considerando a pressão de vapor da água à temperatura ambiente (por exemplo
a
), o valor real fica um pouco menor, cerca de
. Isso explica porque um sifão de água não consegue elevar o líquido mais do que aproximadamente 10 metros acima da superfície do reservatório.
Passo 6
Resumo conceitual rápido (para memorizar na prova):
- A velocidade de saída depende só da diferença de altura entre superfície livre e saída:
- A pressão no ponto mais alto
pode ser escrita como
- A condição de não vaporização dá a altura máxima (limite teórico, fluxo pequeno):