Um sifão é um aparato para remover líquido de um reservatório. A saída C deve ser mais baixa que a entrada A e o tubo deve inicialmente ser cheio com líquido. A densidade do líquido é \rho. (a) Com que velocidade o fluido sai em C? (b) Qual é a pressão em B? Qual a altura máxima H que o sifão pode ascender?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece informação básica sobre um sifão cheio de líquido de densidade \rho. Vou listar explicitamente o que se pede e o que está dado/pressuposto:
  • Perguntas:
    1. (a) Com que velocidade o fluido sai em C?
    2. (b) Qual é a pressão em B?
    3. (b) Qual é a altura máxima H que o sifão pode ascender (ou seja, a máxima elevação do ponto mais alto do tubo acima da superfície livre do reservatório)?
  • Informações / definições que vou usar (o enunciado não dá alturas numéricas, então uso variáveis):
    • Denoto por y_A a cota vertical da superfície livre do reservatório (ponto A).
    • Denoto por y_B a cota do ponto mais alto do tubo (ponto B).
    • Denoto por y_C a cota do orifício de saída (ponto C).
    • Defino a altura de subida do sifão como H = y_B - y_A (altura do ponto mais alto acima da superfície livre).
    • A densidade do líquido é \rho.
    • A aceleração da gravidade é g.
    • Presumo que o reservatório é muito maior que o tubo, logo a velocidade na superfície livre é desprezível ( v_A\approx 0).
    • Presumo escoamento estacionário, fluido incompressível, perdas por atrito desprezíveis e o tubo está inicialmente cheio.
    • A pressão atmosférica é p_{\text{atm}}. O vapor do líquido tem pressão de vapor p_{\text{v}} (se for necessário para a máxima altura).

Passo 2

Princípio que vou usar e explicação didática do que cada termo representa.
  • Ferramenta básica: a equação de Bernoulli (para escoamento estacionário e sem perdas) entre dois pontos 1 e 2 vale:
p_1 + \rho g y_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g y_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Aqui:
  • p é a pressão (Pa) no ponto,
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2),
  • y é a altura vertical (m) do ponto em relação a uma referência conveniente,
  • v é a velocidade do fluido naquele ponto (m/s).
Interpretação física: a soma da pressão, da energia potencial por unidade de volume ( \rho g y) e da energia cinética por unidade de volume ( \tfrac12\rho v^2) é constante ao longo do escoamento (se ignorarmos perdas). É como dizer que “energia por unidade de volume” se conserva.
  • Observações úteis para o sifão:
    • A superfície livre do reservatório (ponto A) está aberta à atmosfera, então p_A = p_{\text{atm}}.
    • O orifício de saída C também está normalmente aberto à atmosfera, então p_C = p_{\text{atm}}.
    • A velocidade na superfície livre é muito pequena se o reservatório é grande, então v_A\approx 0.
    • No tubo, em regime estacionário e com área constante, a velocidade em B e em C é a mesma: v_B = v_C = v.

Passo 3

Resposta da letra (a): velocidade de saída em C.
  • Aplico Bernoulli entre a superfície livre A e o ponto de saída C. Escrevo a equação e substituo p_A=p_C=p_{\text{atm}} e v_A\approx 0:
p_{\text{atm}} + \rho g y_A + \tfrac{1}{2}\rho (0)^2 = p_{\text{atm}} + \rho g y_C + \tfrac{1}{2}\rho v^2.
  • Os termos p_{\text{atm}} cancelam. Isolo v^2:
\rho g y_A = \rho g y_C + \tfrac{1}{2}\rho v^2
\tfrac{1}{2}\rho v^2 = \rho g (y_A - y_C)
v^2 = 2 g (y_A - y_C).
  • Portanto a velocidade de saída em C é
\boxed{v_C = v = \sqrt{2 g (y_A - y_C)}.}
Explicação intuitiva: é a mesma fórmula de Torricelli — a velocidade depende só da diferença de altura entre a superfície livre e o orifício de saída. A energia potencial perdida ao descer essa diferença de altura vira energia cinética.

Passo 4

Resposta da letra (b) parte 1: pressão em B.
  • Vou aplicar Bernoulli entre a superfície livre A e o ponto mais alto B. Escrevo:
p_A + \rho g y_A + \tfrac{1}{2}\rho v_A^2 = p_B + \rho g y_B + \tfrac{1}{2}\rho v_B^2.
  • Substituo p_A=p_{\text{atm}}, v_A\approx 0 e v_B=v. Assim:
p_{\text{atm}} + \rho g y_A = p_B + \rho g y_B + \tfrac{1}{2}\rho v^2.
  • Isolando p_B:
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_A - y_B) - \tfrac{1}{2}\rho v^2.
  • Agora uso o resultado do passo anterior para eliminar v^2: v^2 = 2 g (y_A - y_C). Substituindo:
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_A - y_B) - \tfrac{1}{2}\rho \cdot 2 g (y_A - y_C).
  • Simplificando:
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_A - y_B) - \rho g (y_A - y_C) = p_{\text{atm}} + \rho g (y_C - y_B).
  • Outra forma mais direta (Bernoulli entre B e C, onde p_C=p_{\text{atm}} e v_B=v_C) dá o mesmo:
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_C - y_B).
  • Interpretação clara: se y_B>y_C (o mais alto está acima da saída), então y_C-y_B é negativo e p_B<p_{\text{atm}}. A pressão no topo é menor que a atmosférica por uma quantidade \rho g (y_B-y_C).

Passo 5

Resposta da letra (b) parte 2: altura máxima H que o sifão pode ascender.
  • Definição: H = y_B - y_A (altura do ponto mais alto acima da superfície livre).
  • Usando a expressão já obtida em passo 4 em outra forma (antes de eliminar v), temos:
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_A - y_B) - \tfrac{1}{2}\rho v^2 = p_{\text{atm}} - \rho g H - \tfrac{1}{2}\rho v^2.
  • Condição física para o sifão funcionar: a pressão no ponto mais alto B não pode cair abaixo da pressão de vapor do líquido p_{\text{v}} (se cair, o líquido vaporiza no topo e o sifão perde o enchimento, interrompendo o fluxo). Portanto exigimos
p_B \ge p_{\text{v}}.
  • Substituindo p_B e isolando H:
p_{\text{atm}} - \rho g H - \tfrac{1}{2}\rho v^2 \ge p_{\text{v}}
H \le \frac{p_{\text{atm}} - p_{\text{v}}}{\rho g} - \frac{v^2}{2g}.
  • Observações importantes:
    • O termo -\dfrac{v^2}{2g} mostra que, quanto maior a velocidade (maior vazão), menor pode ser a altura máxima sem vaporizar. Em outras palavras, fluxo rápido reduz a altura admissível.
    • O caso limite para a maior possível altura de subida (quando a velocidade tende a zero, fluxo quase nulo) é obtido ao desprezar o termo dinâmico:
H_{\max} = \frac{p_{\text{atm}} - p_{\text{v}}}{\rho g}.
  • Se você simplificar ainda mais tomando p_{\text{v}}\approx 0 (ou seja, pedindo a altura até onde a pressão absoluta chega a zero, o que é um limite teórico), fica
H_{\max} \approx \frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}.
  • Exemplo numérico (útil para sentir a escala): para água à temperatura ambiente, p_{\text{atm}}\approx 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}, \rho\approx 1000\\ \text{kg/m}^3 e g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2. Então
H_{\max}\approx \frac{1{,}013\times10^{5}}{1000\cdot 9{,}81}\approx 10{,}3\\ \text{m}
se desprezarmos p_{\text{v}}. Considerando a pressão de vapor da água à temperatura ambiente (por exemplo p_{\text{v}}\sim 2{,}3\times10^{3}\\ \text{Pa} a 20^\circ\text{C}), o valor real fica um pouco menor, cerca de 10{,}1\\ \text{m}. Isso explica porque um sifão de água não consegue elevar o líquido mais do que aproximadamente 10 metros acima da superfície do reservatório.

Passo 6

Resumo conceitual rápido (para memorizar na prova):
  • A velocidade de saída depende só da diferença de altura entre superfície livre e saída:
v_C = \sqrt{2 g (y_A - y_C)}.
  • A pressão no ponto mais alto B pode ser escrita como
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_C - y_B) = p_{\text{atm}} - \rho g (y_B - y_C).
  • A condição de não vaporização dá a altura máxima (limite teórico, fluxo pequeno):
H_{\max} = \frac{p_{\text{atm}} - p_{\text{v}}}{\rho g}\quad\text{(aprox. } \frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}\text{ se }p_{\text{v}}\text{ for pequeno)}.

Resposta

v_C = \sqrt{2 g (y_A - y_C)}.
p_B = p_{\text{atm}} + \rho g (y_C - y_B).
H_{\max} = \dfrac{p_{\text{atm}} - p_{\text{v}}}{\rho g} (aproximadamente \dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho g}; para água à temperatura ambiente \approx 10{,}1\text{–}10{,}3\\ \text{m}).

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