Se sigma(t) = e^(lambda t) i + e^(-lambda t) j, onde lambda é uma constante, mostre que sigma(t) satisfaz a equação
sigma''(t) - lambda^2 sigma(t) = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial , onde lambda é uma constante. O objetivo é mostrar que a segunda derivada de sigma(t) em relação a t, menos vezes sigma(t), resulta em zero. Basicamente, vamos usar cálculo de derivadas para verificar se sigma(t) satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de sigma(t) em relação a t. Lembre-se que a derivada de , onde k é uma constante, é . Aplicando isso a cada componente de sigma(t):

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de sigma(t), ou seja, a derivada de em relação a t:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular :

Passo 5

Finalmente, vamos verificar a equação dada na questão:

Resposta

Portanto, mostramos que sigma(t) satisfaz a equação .

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