Calcule:
lim x 0 integral0^x cos (t^2) d tintegral0^x e^-t^2 d t
Resposta: 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas integrais. A questão é calcular o limite quando lim x 0 integral0^x cos (t^2) ,dtintegral0^x e^-t^2 ,dt tende a 0 de:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, integrais e como elas se comportam quando está se aproximando de 0.

Passo 2

Quando temos um limite que envolve duas funções que vão para 0, como é o caso das integrais no numerador e denominador quando limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) tende a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que:
desde que os limites dos denominadores e numeradores sejam 0 ou e que as derivadas existam.

Passo 3

Vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, calculamos as integrais quando integral0^0 cos(t^2) ,dt = 0 e integral0^0 e^-t^2 ,dt = 0 :
Ambas as integrais são 0, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ( integral0^x cos(t^2) ,dt ) = cos(x^2) . Lembrando que a derivada de uma integral de ddx ( integral0^x e^-t^2 ,dt ) = e^-x^2 a de uma função é simplesmente (Teorema Fundamental do Cálculo).
Então:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite se transforma em:
lim x 0 cos(x^2)e^-x^2
Agora, substituímos cos(0^2) = cos(0) = 1 nas funções:
e^-0^2 = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a:
1

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