Determine a derivada direcional de F(x, y, z) = x^2 * y * z^3 ao lougo da curva α(t) = (e^(-t), 2) sent t + 1, t - cos(t), no ponto P = alpha(0), na direção do vetor tangente à curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada direcional da função ao longo da curva no ponto , na direção do vetor tangente à curva. Para isso, vamos precisar entender de derivadas direcionais, curvas no espaço e vetores tangentes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto . Basta substituir na curva :
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . O vetor tangente é dado pela derivada de em relação a avaliada em .
Vamos calcular :
Agora, avaliamos em :
Então, o vetor tangente no ponto é .

Passo 4

Para calcular a derivada direcional, precisamos que o vetor direcional seja um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1). Vamos calcular a norma de :
Agora, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Vamos agora calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 6

Agora, precisamos avaliar o gradiente no ponto . Porém, observe que é uma fun��ão de três variáveis , então vamos considerar apenas as primeiras três componentes de :
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 7

Por fim, a derivada direcional de na direção do vetor unitário é o produto escalar entre e :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor tangente é .

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