Determine a derivada direcional de
ao lougo da curva
sent
, no ponto
, na direção do vetor tangente à curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada direcional da função
ao longo da curva
no ponto
, na direção do vetor tangente à curva. Para isso, vamos precisar entender de derivadas direcionais, curvas no espaço e vetores tangentes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto
. Basta substituir
na curva
:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor tangente à curva
no ponto
. O vetor tangente é dado pela derivada de
em relação a
avaliada em
.
Vamos calcular
:
Agora, avaliamos em
:
Então, o vetor tangente no ponto
é
.
Passo 4
Para calcular a derivada direcional, precisamos que o vetor direcional seja um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1). Vamos calcular a norma de
:
Agora, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Vamos agora calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos avaliar o gradiente no ponto
. Porém, observe que
é uma fun��ão de três variáveis
, então vamos considerar apenas as primeiras três componentes de
:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 7
Por fim, a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre
e
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor tangente é
.