1. O que significa C_{M} ? Escreva as equações para \alpha_{M}, \alpha_{M L} e \alpha_{M L 2} em função de См.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Explicar o que significa C_{M}.
  • Escrever as equações para \alpha_{M}, \alpha_{M L} e \alpha_{M L 2} em função de C_{M}.
Informações explícitas dadas: as quantidades a relacionar são C_{M}, \alpha_{M}, \alpha_{M L} e \alpha_{M L 2}. Nenhum valor numérico adicional foi fornecido.

Passo 2

O que é C_{M} (explicação didática e física, sem jargão pesado)
  • C_{M} é o coeficiente de momento de arfagem (pitching moment coefficient) calculado em torno de um ponto de referência da aeronave (por exemplo, o centro aerodinâmico, o centro de massa ou outro ponto de referência).
  • Ele é adimensional e mede o momento de forças aerodinâmicas em relação à força dinâmica de referência. Em palavras: diz se a combinação de forças aerodinâmicas tende a rodar a aeronave no sentido nariz-para-baixo (momento negativo) ou nariz-para-cima (momento positivo).
  • Tipicamente define-se
C_{M}=\frac{M}{\tfrac{1}{2}\rho V^{2} S c},
onde M é o momento (positividade escolhida por convenção), \rho é densidade do ar, V velocidade, S área de referência e c comprimento de corda de referência. Isso só para você ter onde o coeficiente saiu; na prática usamos relações lineares entre C_{M} e \alpha na região de pequeno ângulo.

Passo 3

Modelo linear mais simples e expressão para \alpha_{M}
  • Em álgebra de estabilidade/performances é comum linearizar C_{M} em função do ângulo de ataque \alpha na faixa pequena de ângulos. O modelo linear básico é
C_{M}(\alpha)=C_{M0}+C_{M\alpha}\,\alpha,
onde
  • C_{M0} é o coeficiente de momento em \alpha=0;
  • C_{M\alpha}=\dfrac{dC_{M}}{d\alpha} é a sensibilidade (derivada) do coeficiente de momento em relação a \alpha.
  • Para obter \alpha (no caso particular chamado \alpha_{M}) em função de um valor pedido de C_{M}, isolamos \alpha:
\alpha_{M}=\frac{C_{M}-C_{M0}}{C_{M\alpha}}.
  • Interpretação prática: se te derem um valor numérico de C_{M}, basta subtrair C_{M0} e dividir por C_{M\alpha}. Importante: isso só vale enquanto o comportamento for aproximadamente linear e C_{M\alpha}\neq 0.

Passo 4

Modelo onde o momento depende do coeficiente de sustentação C_{L} — expressão para \alpha_{M L}
  • Às vezes o momento é escrito como soma de um termo fixo mais um termo proporcional ao coeficiente de sustentação C_{L}. Por exemplo (modelo linearizado)
C_{M}=C_{M0}+m\,C_{L}.
Aqui:
  • m é um braço de momento adimensional (por exemplo m=(x_{\text{ref}}-x_{\text{ac}})/c — distância relativa entre o ponto de referência e o centro aerodinâmico, dividida por c);
  • C_{L} pode ser linearizado como
C_{L}=C_{L0}+C_{L\alpha}\,\alpha,
onde C_{L0} é o C_{L} em \alpha=0 e C_{L\alpha}=\dfrac{dC_{L}}{d\alpha} é a curvatura linear (senso comum: C_{L\alpha}>0).
  • Substituindo C_{L} em C_{M}:
C_{M}=C_{M0}+m\bigl(C_{L0}+C_{L\alpha}\,\alpha\bigr)=\bigl(C_{M0}+mC_{L0}\bigr)+mC_{L\alpha}\,\alpha.
  • Isolando \alpha (aqui chamado \alpha_{M L}):
\alpha_{M L}=\frac{C_{M}-\bigl(C_{M0}+mC_{L0}\bigr)}{mC_{L\alpha}}.
  • Observação prática: este formato é útil quando o momento é dominado pelo deslocamento do centro de pressão associado à sustentação. Novamente requer mC_{L\alpha}\neq 0.

Passo 5

Modelo com duas contribuições de sustentação (ex.: asa + empenagem) — expressão para \alpha_{M L 2}
  • Se houver duas contribuições lineares de sustentação (por exemplo, asa e empenagem ou dois componentes que geram forças cujos braços produzem momentos), o momento pode ser escrito como
C_{M}=C_{M0}+m_{1}C_{L1}+m_{2}C_{L2},
com cada C_{L i} linear em \alpha:
C_{L1}=C_{L1,0}+C_{L1,\alpha}\,\alpha,\qquad C_{L2}=C_{L2,0}+C_{L2,\alpha}\,\alpha.
  • Substituindo e agrupando termos:
C_{M}=C_{M0}+m_{1}C_{L1,0}+m_{2}C_{L2,0}+\bigl(m_{1}C_{L1,\alpha}+m_{2}C_{L2,\alpha}\bigr)\alpha.
  • Isolando \alpha (aqui chamado \alpha_{M L 2}):
\alpha_{M L 2}=\frac{C_{M}-\bigl(C_{M0}+m_{1}C_{L1,0}+m_{2}C_{L2,0}\bigr)}{m_{1}C_{L1,\alpha}+m_{2}C_{L2,\alpha}}.
  • Interpretação: o denominador é a sensibilidade total do momento ao ângulo (soma ponderada das sensibilidades de cada componente). Deve-se ter m_{1}C_{L1,\alpha}+m_{2}C_{L2,\alpha}\neq 0.

Passo 6

Checagens práticas e dicas para a prova (como usar essas fórmulas rápido e sem erro)
  • Sempre escreva qual é o C_{M0} e quais são os coeficientes de sensibilidade ( C_{M\alpha}, C_{L\alpha}, C_{L1,\alpha}, etc.) antes de manipular. Esquecer um termo constante é erro clássico.
  • Confira o sinal do braço de momento m: ele pode ser positivo ou negativo dependendo de onde está o ponto de referência em relação ao centro aerodinâmico. O sinal afeta o numerador e o denominador.
  • Verifique condições de linearidade: essas fórmulas valem para pequenas variações de \alpha (regime linear), não em perda de sustentação ou ângulos altos.
  • Se precisar de um número, plugue e calcule: todas as expressões são operações aritméticas simples — ótimo para prova sem calculadora se os números forem racionais.

Resposta

\alpha_{M}=\frac{C_{M}-C_{M0}}{C_{M\alpha}}
\alpha_{M L}=\frac{C_{M}-\bigl(C_{M0}+m\,C_{L0}\bigr)}{m\,C_{L\alpha}}
\alpha_{M L 2}=\frac{C_{M}-\bigl(C_{M0}+m_{1}C_{L1,0}+m_{2}C_{L2,0}\bigr)}{m_{1}C_{L1,\alpha}+m_{2}C_{L2,\alpha}}

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