Resolva o PVI:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial). O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar do método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara. A equação que temos é:
y' - yt+1 = 2t + 2
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a t. Nosso objetivo é encontrar uma função y(t) que satisfaça essa equação e que também atenda à condição y(1) = -4.

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
y' + P(t)y = Q(t)
Comparando com a nossa equação, temos:
P(t) = -1t+1
Q(t) = 2t + 2
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 4

Calculando o fator integrante:
mu(t) = e^integral -1t+1 dt = e^-ln|t+1|
Simplificando a expressão:
mu(t) = 1t+1

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t):
1t+1 y' - 1(t+1)^2 y = 2t + 2t+1
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como uma derivada:
ddt( yt+1 ) = 2t + 2t+1

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddt( yt+1 ) dt = integral 2t + 2t+1 dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente yt+1.

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito:
integral 2t + 2t+1 dt
Simplificando o numerador:
2t + 2 = 2(t + 1)
Então:
integral 2(t + 1)t+1 dt = integral 2 dt = 2t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, igualamos as integrais:
yt+1 = 2t + C
Para encontrar y, multiplicamos ambos os lados por (t+1):
y = (2t + C)(t + 1)
y = 2t(t + 1) + C(t + 1)
y = 2t^2 + 2t + Ct + C

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial y(1) = -4 para encontrar o valor de C. Substituindo t = 1 e y = -4:
-4 = 2(1)^2 + 2(1) + C(1) + C
-4 = 2 + 2 + C + C
-4 = 4 + 2C
Subtraindo 4 de ambos os lados:
-8 = 2C
Dividindo por 2:
C = -4

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 2t^2 + 2t -4(t + 1) = 2t^2 + 2t -4t -4 = 2t^2 -2t -4

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