Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial). O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar do método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara. A equação que temos é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e que também atenda à condição
.
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação, temos:
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como uma derivada:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito:
Simplificando o numerador:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, igualamos as integrais:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Resposta
A solução do PVI é: