Qual é o significado físico da área sob o gráfico v=f(t) ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é o significado físico da área sob o gráfico v=f(t)?”\n
Informações dadas (explícitas ou implícitas):\n
Temos uma função velocidade v=f(t) representada num gráfico em função do tempo t.\n
A figura pede para interpretar a “área sob o gráfico” entre dois instantes quaisquer t=a e t=b.\n
(O enunciado não dá valores numéricos; a pergunta é conceitual e pede justificação.)
Passo 2
Definição básica e relação com posição: seja x(t) a posição do móvel no tempo t. A velocidade é a taxa de variação da posição, isto é,
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Explicando devagar: \;x(t)\; é “onde o objeto está” e \;v(t)\; diz “com que rapidez e em que sentido a posição está mudando” no instante t.
Passo 3
Deslocamento em um pequeno intervalo de tempo: imagine que olhamos entre t e t+\Delta t, com \Delta t pequeno. Se a velocidade não muda muito nesse intervalo, a variação da posição (deslocamento) é aproximadamente
\Delta x \approx v(t)\,\Delta t.
Interpretação geométrica: v(t) é a altura e \Delta t é a base, então v(t)\Delta t é a área de um retângulo com largura \Delta t e altura v(t). Esse retângulo aproxima a região sob o gráfico v=f(t) nesse pedaço de tempo.
Passo 4
Somando muitos retângulos (Riemann) e passando ao limite: se particionamos [a,b] em muitos subintervalos pequenos e somarmos os deslocamentos aproximados, obtemos
\sum_{i} v(t_i^*)\,\Delta t_i \approx x(b)-x(a).
No limite em que os \Delta t_i vão a zero (partição refinada), essa soma converge para a integral definida. Portanto
x(b)-x(a)=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Isso é a versão física do Teorema Fundamental do Cálculo: integrar a velocidade dá a variação de posição (deslocamento) entre a e b.
Passo 5
Interpretação do sinal (área orientada): a integral é uma “área orientada” — áreas acima do eixo do tempo (onde v(t)>0) contam como positivas; áreas abaixo (onde v(t)<0) contam como negativas. Logo a integral dá o deslocamento algébrico: se o móvel primeiro vai para a direita e depois para a esquerda, as duas áreas podem se cancelar parcialmente.
Passo 6
Exemplo numérico simples (constante): se v(t)=3\\ \text{m/s} para 0\le t\le5\\ \text{s}, então
\int_{0}^{5} 3\,dt = 3\cdot 5 = 15\\ \text{m}.
Interpretação: a área do retângulo altura 3 e base 5 é exatamente o deslocamento de 15 metros.
Passo 7
Exemplo com velocidade variável (triângulo): se v(t)=2t em 0\le t\le 3, então
Geometricamente, no gráfico é um triângulo com base 3 e altura v(3)=6; área =\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 =9, que é o deslocamento em unidades de comprimento.
Passo 8
Distância total percorrida vs deslocamento: se você quer a distância total percorrida (sempre positiva), precisa somar as áreas positivas independentemente do sinal da velocidade. Isso corresponde a integrar o valor absoluto da velocidade:
\text{distância total}=\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt.â
Exemplo rápido: v=5 por 2 s e depois v=-3 por 3 s. O deslocamento é 5\cdot2 + (-3)\cdot3 = 10-9=1 (unidade de comprimento). A distância total é 10+9=19.
Passo 9
Checagem de unidades (sanidade): unidade de v vezes unidade de t dá unidade de posição. Por exemplo, \text{m/s}\times\text{s}=\text{m}. Isso reforça que a “área” sob v(t) tem dimensão de comprimento, compatível com deslocamento.
Passo 10
Resumo didático rápido para a prova (como responder em poucas linhas): “A área sob o gráfico v=f(t) entre t=a e t=b representa o deslocamento do móvel entre esses instantes e é dada por \int_a^b v(t)\,dt. Se quiser a distância total percorrida, use \int_a^b |v(t)|\,dt.” (Pronto para colar na prova.)
Resposta
\displaystyle x(b)-x(a)=\int_{a}^{b} v(t)\,dt (a área sob v=f(t) entre a e b é o deslocamento).\n \displaystyle \text{distância total}=\int_{a}^{b} |v(t)|\,dtâ (para obter distância percorrida, usar o valor absoluto).