- Qual é o significado físico do coeficiente angular do gráfico
? Justifique.
Passo 1
Enunciado: “Qual é o significado físico do coeficiente angular do gráfico
? Justifique.”
Informações dadas: a função fornece a posição
de uma partícula (ou móvel) em função do tempo
. O gráfico considerado é o gráfico de
em função de
(eixo vertical
, eixo horizontal
).
Pergunta explícita: determinar e justificar o significado físico do coeficiente angular (inclinação) desse gráfico.
Informações dadas: a função
Pergunta explícita: determinar e justificar o significado físico do coeficiente angular (inclinação) desse gráfico.
Passo 2
O que é, geometricamente, o coeficiente angular de uma reta que liga dois pontos do gráfico?
Considere dois instantes quaisquer e
. Os pontos correspondentes no gráfico são
e
. A inclinação da reta secante que une esses dois pontos é dada por
Considere dois instantes quaisquer
Aqui
é a variação da posição no intervalo de tempo
. Eu explico cada símbolo:
-
significa , a mudança de posição entre os dois instantes; -
significa o comprimento do intervalo de tempo entre os instantes; - a fração
mede quanto a posição mudou por unidade de tempo nesse intervalo — ou seja, uma “velocidade média” no intervalo .
Passo 3
Interpretação física da razão
: velocidade média.
Fisicamente, definimos a velocidade média entre e
como
Fisicamente, definimos a velocidade média entre
Isto faz sentido: velocidade é distância percorrida por unidade de tempo;
é a distância (com sinal) e
é o tempo gasto.
Passo 4
Passagem da velocidade média para a velocidade instantânea (coeficiente angular da tangente).
Se o intervalo for reduzido cada vez mais, a secante aproxima-se da reta tangente ao gráfico em
. Tomando o limite quando
obtemos a velocidade instantânea:
Se o intervalo
Explicando:
é a derivada de
em relação a
; geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
. Fisicamente, essa derivada é exatamente a velocidade do móvel no instante
.
Passo 5
Observações físicas importantes e unidades:
- O coeficiente angular (da tangente) tem unidades de posição dividida por tempo, por exemplo
se estiver em metros e em segundos; isso confirma que é uma velocidade. - Se
então o móvel se desloca no sentido positivo do eixo ; se desloca-se no sentido negativo; se o móvel está momentaneamente em repouso. - A “inclinação” (mais inclinada = maior valor absoluto de
) indica maior rapidez. - Se a inclinação muda com
(o gráfico é curvo), então a velocidade varia no tempo; a taxa dessa variação é a aceleração (unidades ).
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (com cálculo passo a passo):
- Movimento uniforme:
. A derivada é . Portanto o coeficiente angular da reta do gráfico é e isso significa velocidade constante . - Movimento com velocidade variável:
. A derivada é . No instante o coeficiente angular da tangente vale , ou seja, a velocidade instantânea então é .
Passo 7
Resumo justificando de forma direta: o coeficiente angular da reta secante dá a velocidade média em um intervalo; o coeficiente angular da reta tangente (limite das secantes quando
) é a velocidade instantânea
. É essa relação limite/derivada que conecta a geometria do gráfico à grandeza física velocidade.
Resposta
O coeficiente angular do gráfico
representa a velocidade: mais precisamente, a inclinação da reta secante entre dois instantes é a velocidade média
e o coeficiente angular da reta tangente (limite quando
) é a velocidade instantânea
.