1. Qual é o significado físico do coeficiente angular do gráfico x=f(t) ? Justifique.

Passo 1

Enunciado: “Qual é o significado físico do coeficiente angular do gráfico x=f(t)? Justifique.”
Informações dadas: a função x=f(t) fornece a posição x de uma partícula (ou móvel) em função do tempo t. O gráfico considerado é o gráfico de x em função de t (eixo vertical x, eixo horizontal t).
Pergunta explícita: determinar e justificar o significado físico do coeficiente angular (inclinação) desse gráfico.

Passo 2

O que é, geometricamente, o coeficiente angular de uma reta que liga dois pontos do gráfico?
Considere dois instantes quaisquer t e t+\Delta t. Os pontos correspondentes no gráfico são \bigl(t,\,x(t)\bigr) e \bigl(t+\Delta t,\,x(t+\Delta t)\bigr). A inclinação da reta secante que une esses dois pontos é dada por
\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{(t+\Delta t)-t}.
Aqui \Delta x é a variação da posição no intervalo de tempo \Delta t. Eu explico cada símbolo:
  • \Delta x significa x(t+\Delta t)-x(t), a mudança de posição entre os dois instantes;
  • \Delta t significa o comprimento do intervalo de tempo entre os instantes;
  • a fração \frac{\Delta x}{\Delta t} mede quanto a posição mudou por unidade de tempo nesse intervalo — ou seja, uma “velocidade média” no intervalo [t,t+\Delta t].

Passo 3

Interpretação física da razão \frac{\Delta x}{\Delta t}: velocidade média.
Fisicamente, definimos a velocidade média entre t e t+\Delta t como
v_{\text{média}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.é
Isto faz sentido: velocidade é distância percorrida por unidade de tempo; \Delta x é a distância (com sinal) e \Delta t é o tempo gasto.

Passo 4

Passagem da velocidade média para a velocidade instantânea (coeficiente angular da tangente).
Se o intervalo \Delta t for reduzido cada vez mais, a secante aproxima-se da reta tangente ao gráfico em t. Tomando o limite quando \Delta t\to 0 obtemos a velocidade instantânea:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=x'(t).
Explicando: x'(t) é a derivada de x em relação a t; geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de x=f(t) no ponto de abscissa t. Fisicamente, essa derivada é exatamente a velocidade do móvel no instante t.

Passo 5

Observações físicas importantes e unidades:
  • O coeficiente angular (da tangente) tem unidades de posição dividida por tempo, por exemplo \text{m}/\text{s} se x estiver em metros e t em segundos; isso confirma que é uma velocidade.
  • Se x'(t)>0 então o móvel se desloca no sentido positivo do eixo x; se x'(t)<0 desloca-se no sentido negativo; se x'(t)=0 o móvel está momentaneamente em repouso.
  • A “inclinação” (mais inclinada = maior valor absoluto de x'(t)) indica maior rapidez.
  • Se a inclinação muda com t (o gráfico é curvo), então a velocidade varia no tempo; a taxa dessa variação é a aceleração a(t)=v'(t)=x''(t) (unidades \text{m}/\text{s}^2).

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (com cálculo passo a passo):
  1. Movimento uniforme: x(t)=5t+2. A derivada é x'(t)=5. Portanto o coeficiente angular da reta do gráfico é 5 e isso significa velocidade constante 5\\ \text{(unidades de posição/tempo)}çã.
  2. Movimento com velocidade variável: x(t)=t^2. A derivada é x'(t)=2t. No instante t=3 o coeficiente angular da tangente vale x'(3)=6, ou seja, a velocidade instantânea então é 6.

Passo 7

Resumo justificando de forma direta: o coeficiente angular da reta secante dá a velocidade média em um intervalo; o coeficiente angular da reta tangente (limite das secantes quando \Delta t\to0) é a velocidade instantânea v(t)=x'(t). É essa relação limite/derivada que conecta a geometria do gráfico à grandeza física velocidade.

Resposta

O coeficiente angular do gráfico x=f(t) representa a velocidade: mais precisamente, a inclinação da reta secante entre dois instantes é a velocidade média \dfrac{\Delta x}{\Delta t} e o coeficiente angular da reta tangente (limite quando \Delta t\to0) é a velocidade instantânea v(t)=x'(t).

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