Para X \sim N(100,100), calcule:
  • P(X<115)=93,32
  • P(X \geq 80)=97,72
  • P(90 \leq X \leq 110)=68,26
  • P(|X-100| \leq 110)= \square
  • P(X<a)=0,20 \rightarrow a= \square
  • P(X>a)=0,30 \rightarrow a= \square
  • P(100-a<X<100+a)=0,95 \rightarrow a= \square

Passo 1

  • Dados: X\sim N(100,100). Isso significa que a média é \mu=100 e a variância é \sigma^{2}=100. Logo o desvio padrão é \sigma=\sqrt{100}=10.
  • Perguntas (lista das quantidades que queremos calcular):
    1. P(X<115)
    2. P(X\geq80)
    3. P(90\leq X\leq110)
    4. P(|X-100|\leq110)
    5. Encontrar a tal que P(X<a)=0,20
    6. Encontrar a tal que P(X>a)=0,30
    7. Encontrar a tal que P(100-a<X<100+a)=0,95

Passo 2

Vou usar a padronização para transformar X numa variável normal padrão Z, porque tabelas e quantis que conhecemos são para a normal padrão.
  • Definição: \displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-100}{10}.
  • Interpretação: para qualquer x, P(X<x)=P\!\left(Z<\frac{x-100}{10}\right).
  • Notação: chamo \Phi(z) a função de distribuição da normal padrão, isto é \Phi(z)=P(Z\le z). Para achar probabilidades uso valores de \Phi (tabela ou calculadora). Também uso as propriedades de simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Calcular P(X<115).
  • Padronizo: \displaystyle z=\frac{115-100}{10}=1,5.
  • Então P(X<115)=\Phi(1,5).
  • Usando tabela/valor conhecido: \Phi(1,5)\approx0,93319.
  • Convertendo para porcentagem: 0,93319\approx93,32\%.
  • Resultado: P(X<115)=0,9332 (ou 93,32\%).

Passo 4

Calcular P(X\ge80).
  • Primeiro escrevo como complementar: P(X\ge80)=1-P(X<80).
  • Padronizo 80: \displaystyle z=\frac{80-100}{10}=-2.
  • Assim P(X<80)=\Phi(-2). Pela simetria \Phi(-2)=1-\Phi(2).
  • Valor conhecido: \Phi(2)\approx0,97725, então \Phi(-2)\approx1-0,97725=0,02275.
  • Logo P(X\ge80)=1-0,02275=0,97725\approx0,9772 (ou 97,72\%).

Passo 5

Calcular P(90\le X\le110).
  • Padronizo os extremos:
    \displaystyle z_1=\frac{90-100}{10}=-1,\quad z_2=\frac{110-100}{10}=1.
  • Então P(90\le X\le110)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Usando simetria: \Phi(-1)=1-\Phi(1). Logo \Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
  • Valor conhecido: \Phi(1)\approx0,84134. Assim 2\cdot0,84134-1=0,68268.
  • Arredondando: 0,68268\approx0,6826 (ou 68,26\%). Resultado: P(90\le X\le110)\approx0,6826.

Passo 6

Calcular P(|X-100|\le110).
  • A desigualdade |X-100|\le110 equivale a -110\le X-100\le110, isto é 100-110\le X\le100+110.
  • Portanto o intervalo é [-10,210].
  • Padronizando os extremos: z_{\text{inf}}=\frac{-10-100}{10}=\frac{-110}{10}=-11,\qquad z_{\text{sup}}=\frac{210-100}{10}=\frac{110}{10}=11.
  • Para a normal padrão \Phi(11) é praticamente 1 e \Phi(-11) é praticamente 0. Numérica e pragmaticamente, P(-11\le Z\le 11)=\Phi(11)-\Phi(-11)\approx1-0=1.
  • Resultado: P(|X-100|\le110)\approx1,00 (ou 100\%). Na prática é a certeza dentro da precisão usual.

Passo 7

Resolver P(X<a)=0,20 para a.
  • Queremos P(X<a)=0,20. Usando padronização, P\!\left(Z<\frac{a-100}{10}\right)=0,20.
  • Logo \displaystyle \frac{a-100}{10}=\Phi^{-1}(0,20).
  • Valor da tabela inversa: \Phi^{-1}(0,20)\approx-0,8416.
  • Então a-100=10\cdot(-0,8416)=-8,416.
  • Assim a=100-8,416=91,584.
  • Arredondando para duas casas decimais: a\approx91,58.

Passo 8

Resolver P(X>a)=0,30 para a.
  • Note que P(X>a)=0,30 implica P(X\le a)=0,70.
  • Padronizando: \displaystyle \frac{a-100}{10}=\Phi^{-1}(0,70).
  • Valor da tabela inversa: \Phi^{-1}(0,70)\approx0,5244.
  • Então a-100=10\cdot0,5244=5,244.
  • Logo a=100+5,244=105,244.
  • Arredondando para duas casas decimais: a\approx105,24.

Passo 9

Resolver P(100-a<X<100+a)=0,95 para a.
  • Esta é uma probabilidade de intervalo simétrico em torno da média 100. Em termos de Z, P\!\left(-\frac{a}{10}<Z<\frac{a}{10}\right)=0,95.
  • Pela simetria da normal padrão, isso dá 2\Phi\!\left(\frac{a}{10}\right)-1=0,95.
  • Assim \Phi\!\left(\frac{a}{10}\right)=0,975.
  • O quantil \Phi^{-1}(0,975) é aproximadamente 1,96.
  • Então \displaystyle \frac{a}{10}=1,96\Rightarrow a=1,96\cdot10=19,6.
  • Resultado: a=19,6.

Resposta

P(X<115)=0,9332
P(X\ge 80)=0,9772
P(90\le X\le110)=0,6826
P(|X-100|\le110)=1,00
P(X<a)=0,20\Rightarrow a\approx91,58
P(X>a)=0,30\Rightarrow a\approx105,24
P(100-a<X<100+a)=0,95\Rightarrow a=19,6

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