Você está participando de um campeonato de jogos de tabuleiro e usando um dado que parece não ser balanceado, o que está te prejudicando. Suponha que em 400 lançamentos você observou os valores de 1 a 6 com as frequências:
, respectivamente. Você vai reclamar com os organizadores do evento somente se tiver muita certeza de que o dado não é balanceado, e agora?
Passo 1
O enunciado pergunta se devemos reclamar com os organizadores — isto é, se há evidência forte de que o dado não é balanceado — dado que em
lançamentos as frequências observadas dos valores
a
foram
Informações relevantes fornecidas:
as contagens observadas
.
A pergunta implícita é: existe evidência estatística forte contra a hipótese de que todas as faces têm probabilidade igual?
A pergunta implícita é: existe evidência estatística forte contra a hipótese de que todas as faces têm probabilidade igual?
Passo 2
Vamos formalizar o que queremos testar. Definimos as hipóteses:
Explicação didática:
diz que o dado é balanceado (cada face tem probabilidade
).
diz que o dado é viciado (pelo menos uma face tem probabilidade diferente). Para testar isso, usamos um teste de aderência qui-quadrado (bom para comparar contagens observadas com contagens esperadas sob
), porque temos contagens por categoria e amostra grande.
Passo 3
Calcular as contagens esperadas sob
. Se cada face tem probabilidade
, a contagem esperada para cada face é
Comentário didático: a ideia é comparar cada
com o que esperaríamos em média se o dado fosse justo. Aqui todos os
são iguais porque as probabilidades sob
são iguais.
Passo 4
Escrevemos a estatística do teste qui-quadrado de Pearson:
Explicação da fórmula: para cada categoria
, calcula-se a diferença entre observado
e esperado
, eleva-se ao quadrado (para penalizar grandes discrepâncias independentemente do sinal) e divide-se por
(para normalizar; discrepâncias em categorias com maior expectativa contam proporcionalmente menos). A soma dá a estatística
. Sob
e com amostra grande,
segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade, onde
é o número de categorias.
Passo 5
Calculamos termo a termo de forma exata (usando frações para ficar limpo) e também em valor decimal aproximado.
Para
(face 1):
Para
(face 2):
Para
(face 3):
Para
(face 4):
Para
(face 5):
Para
(face 6):
Passo 6
Somamos todas as contribuições para obter a estatística
. Somando exatamente em frações (denominador comum
) obtemos
Em forma decimal:
.
Comentário didático: esse número mede o quanto as contagens observadas desviam, no total, das esperadas. Quanto maior, mais forte a evidência contra
.
Passo 7
Determinamos os graus de liberdade e a regra de decisão. Temos
categorias, então os graus de liberdade são
Como você quer “muita certeza” antes de reclamar, escolhemos um nível de significância rigoroso, por exemplo
(ou até menor). O valor crítico da distribuição qui-quadrado para
e
é aproximadamente
Como a nossa estatística
é maior que
, rejeitamos
ao nível
. Para referência, o quantil ainda mais extremo
e note que
, então o
-valor é menor que
. Ou seja, a evidência contra
é muito forte.
Explicação didática do
-valor: o
-valor é a probabilidade, sob
, de observar uma estatística tão extrema quanto a nossa. Ter
significa que é altamente improvável obter os dados observados se o dado fosse realmente justo.
Passo 8
Conclusão prática e recomendação: há evidência estatística muito forte, mesmo com critério rigoroso (
ou
), de que o dado não é balanceado. Assim, se você só vai reclamar quando tiver “muita certeza”, os dados suportam reclamar.
Boa — você tem uma prova estatística bem sólida para apresentar aos organizadores.
Resposta
Sim — há evidência muito forte de que o dado não é balanceado; teste qui-quadrado:
,
,
(rejeitamos
ao nível
).