Você está participando de um campeonato de jogos de tabuleiro e usando um dado que parece não ser balanceado, o que está te prejudicando. Suponha que em 400 lançamentos você observou os valores de 1 a 6 com as frequências: 90,80,70,60,55,45, respectivamente. Você vai reclamar com os organizadores do evento somente se tiver muita certeza de que o dado não é balanceado, e agora?

Passo 1

O enunciado pergunta se devemos reclamar com os organizadores — isto é, se há evidência forte de que o dado não é balanceado — dado que em 400 lançamentos as frequências observadas dos valores 1 a 6 foram
(90,80,70,60,55,45).
Informações relevantes fornecidas:
N=400,
as contagens observadas O_1=90,\;O_2=80,\;O_3=70,\;O_4=60,\;O_5=55,\;O_6=45.
A pergunta implícita é: existe evidência estatística forte contra a hipótese de que todas as faces têm probabilidade igual?

Passo 2

Vamos formalizar o que queremos testar. Definimos as hipóteses:
H_0:\; p_1=p_2=\cdots=p_6=\frac{1}{6}
H_1:\; \text{nem todos os }p_i\text{ são iguais a }\frac{1}{6}.ã
Explicação didática: H_0 diz que o dado é balanceado (cada face tem probabilidade \tfrac{1}{6}). H_1 diz que o dado é viciado (pelo menos uma face tem probabilidade diferente). Para testar isso, usamos um teste de aderência qui-quadrado (bom para comparar contagens observadas com contagens esperadas sob H_0), porque temos contagens por categoria e amostra grande.

Passo 3

Calcular as contagens esperadas sob H_0. Se cada face tem probabilidade \tfrac{1}{6}, a contagem esperada para cada face é
E_i = N\cdot\frac{1}{6}=\frac{400}{6}=\frac{200}{3}\approx 66,666\ldots
Comentário didático: a ideia é comparar cada O_i com o que esperaríamos em média se o dado fosse justo. Aqui todos os E_i são iguais porque as probabilidades sob H_0 são iguais.

Passo 4

Escrevemos a estatística do teste qui-quadrado de Pearson:
\chi^2=\sum_{i=1}^{6}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.
Explicação da fórmula: para cada categoria i, calcula-se a diferença entre observado O_i e esperado E_i, eleva-se ao quadrado (para penalizar grandes discrepâncias independentemente do sinal) e divide-se por E_i (para normalizar; discrepâncias em categorias com maior expectativa contam proporcionalmente menos). A soma dá a estatística \chi^2. Sob H_0 e com amostra grande, \chi^2 segue aproximadamente uma distribuição qui-quadrado com k-1 graus de liberdade, onde k é o número de categorias.

Passo 5

Calculamos termo a termo de forma exata (usando frações para ficar limpo) e também em valor decimal aproximado.
Para i=1 (face 1):
O_1-E_1 = 90-\frac{200}{3}=\frac{70}{3},
\frac{(O_1-E_1)^2}{E_1}=\frac{\left(\frac{70}{3}\right)^2}{\frac{200}{3}}=\frac{4900/9}{200/3}=\frac{4900}{9}\cdot\frac{3}{200}=\frac{49}{6}\approx 8,166\ldots
Para i=2 (face 2):
O_2-E_2 = 80-\frac{200}{3}=\frac{40}{3},
\frac{(O_2-E_2)^2}{E_2}=\frac{(40/3)^2}{200/3}=\frac{1600/9}{200/3}=\frac{8}{3}\approx 2,666\ldots
Para i=3 (face 3):
O_3-E_3 = 70-\frac{200}{3}=\frac{10}{3},
\frac{(O_3-E_3)^2}{E_3}=\frac{(10/3)^2}{200/3}=\frac{100/9}{200/3}=\frac{1}{6}\approx 0,166\ldots
Para i=4 (face 4):
O_4-E_4 = 60-\frac{200}{3}=-\frac{20}{3},
\frac{(O_4-E_4)^2}{E_4}=\frac{(20/3)^2}{200/3}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3}\approx 0,666\ldots
Para i=5 (face 5):
O_5-E_5 = 55-\frac{200}{3}=-\frac{35}{3},
\frac{(O_5-E_5)^2}{E_5}=\frac{(35/3)^2}{200/3}=\frac{1225/9}{200/3}=\frac{49}{24}\approx 2,0416\ldots
Para i=6 (face 6):
O_6-E_6 = 45-\frac{200}{3}=-\frac{65}{3},
\frac{(O_6-E_6)^2}{E_6}=\frac{(65/3)^2}{200/3}=\frac{4225/9}{200/3}=\frac{507}{72}\approx 7,0416\ldots

Passo 6

Somamos todas as contribuições para obter a estatística \chi^2. Somando exatamente em frações (denominador comum 72) obtemos
\chi^2=\frac{1494}{72}=\frac{83}{4}=20,75.
Em forma decimal: \chi^2\approx 20,75.
Comentário didático: esse número mede o quanto as contagens observadas desviam, no total, das esperadas. Quanto maior, mais forte a evidência contra H_0.

Passo 7

Determinamos os graus de liberdade e a regra de decisão. Temos k=6 categorias, então os graus de liberdade são
df=k-1=5.
Como você quer “muita certeza” antes de reclamar, escolhemos um nível de significância rigoroso, por exemplo \alpha=0,01 (ou até menor). O valor crítico da distribuição qui-quadrado para df=5 e \alpha=0,01 é aproximadamente
\chi^2_{0,01,5}\approx 15,086.
Como a nossa estatística \chi^2=20,75 é maior que 15,086, rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,01. Para referência, o quantil ainda mais extremo \chi^2_{0,001,5}\approx 20,515 e note que 20,75>20,515, então o p-valor é menor que 0,001. Ou seja, a evidência contra H_0 é muito forte.
Explicação didática do p-valor: o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística tão extrema quanto a nossa. Ter p<0,001 significa que é altamente improvável obter os dados observados se o dado fosse realmente justo.

Passo 8

Conclusão prática e recomendação: há evidência estatística muito forte, mesmo com critério rigoroso ( \alpha=0,01 ou \alpha=0,001), de que o dado não é balanceado. Assim, se você só vai reclamar quando tiver “muita certeza”, os dados suportam reclamar.
Boa — você tem uma prova estatística bem sólida para apresentar aos organizadores.

Resposta

Sim — há evidência muito forte de que o dado não é balanceado; teste qui-quadrado: \chi^2=20,75, df=5, p<0,001 (rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,01).

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