Sejam as variáveis X_{1} : "Número de funcionários"e X_{2} : "Total de salários mínimos pago aos funcionários"para 4 diferentes empresas abaixo:
Table 1: Tabela 2
\captionsetup{labelformat=empty}
X_{1} 4 5 4 3
X_{2} 42 52 48 58
Calcule \bar{X}, \mathcal{S} e R de forma matricial (usando a matriz centrada no cálculo de \mathcal{S} ).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos, de forma matricial, para as duas variáveis X_{1} (“Número de funcionários”) e X_{2} (“Total de salários mínimos pago aos funcionários”) avaliadas em n=4 empresas, os seguintes itens: a média vetorial \bar{X}, a matriz de covariância amostral \mathcal{S} (usando a matriz centrada) e o vetor das amplitudes (ranges) R. Os dados fornecidos estão, por coluna, para as 4 empresas:
X_{1}:\;4,\;5,\;4,\;3
X_{2}:\;42,\;52,\;48,\;58
Vou proceder de forma matricial: montar a matriz de dados, calcular a média por variável, centrar a matriz e então calcular \mathcal{S} usando a fórmula com divisão por n-1. Também calcularei R por variável (máximo menos mínimo).

Passo 2

Montagem da matriz de dados \;X\; (duas linhas — cada linha é uma variável — e quatro colunas — cada coluna é uma observação/empresa):
X=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 4 & 3\\[4pt] 42 & 52 & 48 & 58 \end{pmatrix}.
A média vetorial \bar{X} (média de cada linha/variável) é dada por
\bar{X}=\frac{1}{n}\,X\mathbf{1}_{n},
onde \mathbf{1}_{n} é o vetor coluna de uns com n=4. Calculemos componente a componente:
\bar{X}_{1}=\frac{4+5+4+3}{4}=\frac{16}{4}=4,
\bar{X}_{2}=\frac{42+52+48+58}{4}=\frac{200}{4}=50.
Logo, a média vetorial (coluna) é
\bar{X}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]50\end{pmatrix}.]

Passo 3

Formação da matriz centrada X_{c}. A definição matricial é
X_{c}=X-\bar{X}\mathbf{1}_{n}^{\top},
ou seja, subtrai-se a média de cada variável de todas as suas observações. Primeiro escrevemos \bar{X}\mathbf{1}_{4}^{\top}:
\bar{X}\mathbf{1}_{4}^{\top}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]50\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 4 & 4 & 4\\[4pt]50 & 50 & 50 & 50\end{pmatrix}.
Agora calculamos X_{c}=X-(\bar{X}\mathbf{1}_{4}^{\top}):
X_{c}= \begin{pmatrix} 4 & 5 & 4 & 3\\[4pt] 42 & 52 & 48 & 58 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 & 4\\[4pt] 50 & 50 & 50 & 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -8 & 2 & -2 & 8 \end{pmatrix}.
Cada coluna é o vetor de desvios (observação menos média) para cada empresa.]

Passo 4

Fórmula matricial da matriz de covariância amostral \mathcal{S} (unbiased):
\mathcal{S}=\frac{1}{n-1}\,X_{c}X_{c}^{\top},
onde X_{c} é a matriz centrada (aqui 2\times 4), então X_{c}X_{c}^{\top} será 2\times 2. Vamos calcular X_{c}X_{c}^{\top} componente a componente (é equivalente somar produtos ao longo das 4 observações):
Cálculo dos elementos (soma sobre as 4 colunas):
(X_{c}X_{c}^{\top})_{11}=\sum_{i=1}^{4}(X_{c})_{1i}^{2}=0^{2}+1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}=2,
(X_{c}X_{c}^{\top})_{22}=\sum_{i=1}^{4}(X_{c})_{2i}^{2}=(-8)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}+8^{2}=64+4+4+64=136,
(X_{c}X_{c}^{\top})_{12}=(X_{c}X_{c}^{\top})_{21}=\sum_{i=1}^{4}(X_{c})_{1i}(X_{c})_{2i} =0\cdot(-8)+1\cdot2+0\cdot(-2)+(-1)\cdot8=2-8=-6.
Portanto
X_{c}X_{c}^{\top}=\begin{pmatrix}2 & -6\\[4pt]-6 & 136\end{pmatrix}.
Dividindo por n-1=3 obtemos
\mathcal{S}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -6\\[4pt]-6 & 136\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & -2\\[8pt]-2 & \dfrac{136}{3}\end{pmatrix}.
Se quiser interpretar: \mathcal{S}_{11}=\dfrac{2}{3} é a variância amostral de X_{1}, \mathcal{S}_{22}=\dfrac{136}{3} é a variância amostral de X_{2} e \mathcal{S}_{12}=\mathcal{S}_{21}=-2 é a covariância amostral entre X_{1} e X_{2}. A divisão por n-1 surge porque usamos o estimador amostral não enviesado da matriz de covariância.]

Passo 5

Cálculo do vetor amplitudes (range) R por variável: R_{j}=\max - \min.
Para \;X_{1}\;:
\max(X_{1})=5,\quad \min(X_{1})=3 \quad\Rightarrow\quad R_{1}=5-3=2.
Para \;X_{2}\;:
\max(X_{2})=58,\quad \min(X_{2})=42 \quad\Rightarrow\quad R_{2}=58-42=16.
Assim, o vetor R (coluna) é
R=\begin{pmatrix}2\\[4pt]16\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \bar{X}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]50\end{pmatrix}
\displaystyle \mathcal{S}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & -2\\[8pt]-2 & \dfrac{136}{3}\end{pmatrix}
\displaystyle R=\begin{pmatrix}2\\[4pt]16\end{pmatrix}]

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