Sejam as variáveis X_{1} : "Número de funcionários"e X_{2} : "Total de salários mínimos pago aos funcionários"para 4 diferentes empresas abaixo:
Table 1: Tabela 2
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X_{1}
4
5
4
3
X_{2}
42
52
48
58
Calcule \bar{X}, \mathcal{S} e R de forma matricial (usando a matriz centrada no cálculo de \mathcal{S} ).
Passo 1
O enunciado pede que calculemos, de forma matricial, para as duas variáveis X_{1} (“Número de funcionários”) e X_{2} (“Total de salários mínimos pago aos funcionários”) avaliadas em n=4 empresas, os seguintes itens: a média vetorial \bar{X}, a matriz de covariância amostral \mathcal{S} (usando a matriz centrada) e o vetor das amplitudes (ranges) R. Os dados fornecidos estão, por coluna, para as 4 empresas:
X_{1}:\;4,\;5,\;4,\;3
X_{2}:\;42,\;52,\;48,\;58
Vou proceder de forma matricial: montar a matriz de dados, calcular a média por variável, centrar a matriz e então calcular \mathcal{S} usando a fórmula com divisão por n-1. Também calcularei R por variável (máximo menos mínimo).
Passo 2
Montagem da matriz de dados \;X\; (duas linhas — cada linha é uma variável — e quatro colunas — cada coluna é uma observação/empresa):
Cada coluna é o vetor de desvios (observação menos média) para cada empresa.]
Passo 4
Fórmula matricial da matriz de covariância amostral \mathcal{S} (unbiased):
\mathcal{S}=\frac{1}{n-1}\,X_{c}X_{c}^{\top},
onde X_{c} é a matriz centrada (aqui 2\times 4), então X_{c}X_{c}^{\top} será 2\times 2. Vamos calcular X_{c}X_{c}^{\top} componente a componente (é equivalente somar produtos ao longo das 4 observações):
Se quiser interpretar: \mathcal{S}_{11}=\dfrac{2}{3} é a variância amostral de X_{1}, \mathcal{S}_{22}=\dfrac{136}{3} é a variância amostral de X_{2} e \mathcal{S}_{12}=\mathcal{S}_{21}=-2 é a covariância amostral entre X_{1} e X_{2}. A divisão por n-1 surge porque usamos o estimador amostral não enviesado da matriz de covariância.]
Passo 5
Cálculo do vetor amplitudes (range) R por variável: R_{j}=\max - \min.