a) E(X)=n p, em que X sim Bin(n, p), n é o número de ensaios e p in [0,1] é a probabilidade de sucesso.
b) E(X)=lambda, em que X sim Poisson(lambda) com lambda >0.
c) E(Y)=mu, em que Y sim N(mu, sigma^2), mu in R representa o parâmetro da média e sigma^2 >0 o parâmetro da variância.
d) E(Y)=1lambda e V(Y)=1lambda^2, em que Y sim Exp(lambda) com lambda>0.

Passo 1

Beleza, vamos começar pela parte a. O enunciado diz que a espera de , onde segue uma distribuição Binomial com parâmetros (número de ensaios) e (probabilidade de sucesso), é .
Primeiro, o que é uma distribuição Binomial? É uma distribuição que conta o número de sucessos em tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso .
Como calculamos a esperança ? A fórmula básica para a esperança de uma Binomial é mesmo . Isso faz sentido porque, em cada ensaio, esperamos sucessos, então em ensaios, esperamos sucessos no total.

Passo 2

Agora, vamos para a parte b. Aqui, o enunciado afirma que , onde segue uma distribuição de Poisson com parâmetro .
O que é uma distribuição de Poisson? Ela modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, sendo os eventos independentes e com uma taxa média .
Como é calculada a esperança ? Para a distribuição de Poisson, a média é igual a . Isso porque representa a taxa média de ocorrências no intervalo considerado.

Passo 3

Seguimos para a parte c. O enunciado diz que , onde segue uma distribuição Normal com média e variância , ou seja, .
O que é uma distribuição Normal? Também conhecida como Gaussiana, é uma das distribuições mais comuns, caracterizada por sua simetria ao redor da média e controlada pela variância .
Calcular a esperança é direto aqui: pela definição da distribuição Normal, a média é exatamente a esperança .

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte d. O enunciado apresenta que e , onde segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , .
O que é uma distribuição Exponencial? É usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, com taxa .
Como calculamos e ?
  • A esperança para a Exponencial é .
  • A variância é .
Essas fórmulas vêm diretamente das propriedades da distribuição Exponencial.

Resposta

Todas as afirmações estão corretas:
a) para ;
b) para ;
c) para ;
d) e para .

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