Se Z \sim N(0,1), calcule:
Determine z tal que:
P(Z leq z)=0,95.

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja Z \sim N(0,1). O pedido é: determinar z tal que
P(Z \leq z)=0,95.
Informações relevantes que temos:
  • Z tem média 0 e variância 1.
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão será denotada por \Phi(z)=P(Z\leq z).
  • Precisamos achar o quantil de ordem 0,95, isto é z_{0,95}=\Phi^{-1}(0,95).

Passo 2

Explicando o conceito (passo-a-passo, tipo aula rápida):
  • A função \Phi(z) dá a probabilidade acumulada até z. Por exemplo, \Phi(0)=0,5 porque metade da massa da normal padrão fica à esquerda de zero.
  • Pedir P(Z\leq z)=0,95 é o mesmo que pedir o valor z tal que \Phi(z)=0,95. Esse z chama-se quantil 95\% da normal padrão e escreve-se z_{0,95}.
  • Na prática de prova sem calculadora, usa-se a tabela da normal padrão (tabela de \Phi) que dá valores \Phi(z) para z com duas casas decimais, ou usa-se uma função inversa no calculador/PC.

Passo 3

Como usar a tabela da normal padrão (explicando como ler):
  • Procura-se na tabela o valor de probabilidade mais próximo de 0,95 e lê-se a linha/coluna correspondentes ao z.
  • Valores típicos da tabela (pegos da tabela padrão):
    • \Phi(1,64)=0,9495.
    • \Phi(1,65)=0,9505.
      Ou seja, 0,95 está exatamente entre esses dois valores.

Passo 4

Interpolação linear para obter z com mais precisão (método simples e aceitável em prova):
  • A diferença entre \Phi(1,65) e \Phi(1,64) é
0,9505-0,9495=0,0010.
  • Queremos a diferença entre 0,95 e \Phi(1,64):
0,95-0,9495=0,0005.
  • A fração do intervalo é
\frac{0,0005}{0,0010}=0,5.
  • Como o intervalo de z entre 1,64 e 1,65 é 0,01, avançamos metade desse intervalo:
z \approx 1,64 + 0,5\cdot 0,01 = 1,64 + 0,005 = 1,645.

Passo 5

Interpretação final e precisão:
  • Portanto o quantil pedido é aproximadamente z_{0,95}=1,645.
  • Se for permitido dar mais casas usando calculadora/inverso da normal, o valor mais preciso é aproximadamente 1,6448536\ldots, mas em provas costuma-se usar 1,645.

Resposta

1,645

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