Se Z \sim N(0,1), calcule:
P(|Z| leq 1).

Passo 1

O enunciado dá que Z\sim N(0,1) (variável aleatória com distribuição normal padrão: média 0 e variância 1) e pede o valor da probabilidade
P(|Z|\le 1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Z é a normal padrão, logo sua função densidade de probabilidade é conhecida e a função de distribuição acumulada será denotada por \Phi(x)=P(Z\le x).
  • O evento |Z|\le 1 significa que Z está entre -1 e 1.

Passo 2

Traduzindo o evento em desigualdade, temos
P(|Z|\le 1)=P(-1\le Z\le 1).
Para uma variável contínua, a probabilidade de um intervalo é dada pela diferença das funções de distribuição acumulada (CDF). Definindo
\Phi(x)=P(Z\le x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt,
temos então
P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).

Passo 3

Agora usamos a simetria da normal padrão. Vou provar rapidamente a identidade útil: para x\ge 0,
\Phi(-x)=1-\Phi(x).
Prova (curta): escrevendo a definição,
\Phi(-x)=\int_{-\infty}^{-x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
Fazendo a substituição u=-t (então dt=-du), os limites trocam e obtemos
\Phi(-x)=\int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^{2}/2}\,du=1-\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^{2}/2}\,du=1-\Phi(x).
Essa identidade vem do fato de que a densidade é simétrica em torno de zero.

Passo 4

Aplicando a identidade ao caso x=1,
\Phi(-1)=1-\Phi(1).
Substituindo em P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1) obtemos
P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.

Passo 5

Agora só falta o valor numérico de \Phi(1). A tabela da normal padrão (ou calculadora) dá
\Phi(1)\approx 0,8413.
Então
P(|Z|\le 1)=2\cdot 0,8413-1=0,6826.

Passo 6

Interpretação rápida e motivadora: isso significa que cerca de 68{,}26\% da massa da distribuição normal padrão está a uma unidade padrão da média. Esse resultado é a base da “regra empírica” (aproximadamente 68\% dentro de 1 desvio padrão).

Resposta

P(|Z|\le 1)=0,6826

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