Se
, calcule:
.
Passo 1
O enunciado dá que
(variável aleatória com distribuição normal padrão: média
e variância
) e pede o valor da probabilidade
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é a normal padrão, logo sua função densidade de probabilidade é conhecida e a função de distribuição acumulada será denotada por . - O evento
significa que está entre e .
Passo 2
Traduzindo o evento em desigualdade, temos
Para uma variável contínua, a probabilidade de um intervalo é dada pela diferença das funções de distribuição acumulada (CDF). Definindo
temos então
Passo 3
Agora usamos a simetria da normal padrão. Vou provar rapidamente a identidade útil: para
,
Prova (curta): escrevendo a definição,
Fazendo a substituição
(então
), os limites trocam e obtemos
Essa identidade vem do fato de que a densidade é simétrica em torno de zero.
Passo 4
Aplicando a identidade ao caso
,
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Agora só falta o valor numérico de
. A tabela da normal padrão (ou calculadora) dá
Então
Passo 6
Interpretação rápida e motivadora: isso significa que cerca de
da massa da distribuição normal padrão está a uma unidade padrão da média. Esse resultado é a base da “regra empírica” (aproximadamente
dentro de
desvio padrão).