Se Z \sim N(0,1), calcule:
Determine z tal que:
P(|Z| geq z)=0,05.

Passo 1

O enunciado pede: determinar z tal que
P\bigl(|Z|\geq z\bigr)=0,05,
onde Z\sim N(0,1) é a distribuição normal padrão. Vou listar o que isso significa em palavras e as informações dadas:
  • A probabilidade de que o valor absoluto de Z seja ao menos z vale 0,05.
  • Precisamos achar o valor positivo de z que satisfaça essa igualdade (faz sentido buscar z\geq0 porque a probabilidade depende só do módulo).

Passo 2

Entender a probabilidade envolvendo valor absoluto. Para uma variável simétrica como Z\sim N(0,1) vale
P\bigl(|Z|\geq z\bigr)=P(Z\leq -z)+P(Z\geq z).
Pela simetria da normal padrão temos P(Z\leq -z)=P(Z\geq z). Portanto a soma fica
P\bigl(|Z|\geq z\bigr)=2\,P(Z\geq z).

Passo 3

Usar a igualdade do enunciado com a relação da etapa anterior. Como P(|Z|\geq z)=0,05, obtemos
2\,P(Z\geq z)=0,05.
Dividindo por 2,
P(Z\geq z)=0,025.

Passo 4

Converter para a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, que chamamos de \Phi. Para a normal padrão:
P(Z\geq z)=1-\Phi(z).
Portanto da etapa anterior:
1-\Phi(z)=0,025.
Isolando \Phi(z),
\Phi(z)=1-0,025=0,975.

Passo 5

Interpretar \Phi(z)=0,975: isto significa que z é o quantil de ordem 0,975 da normal padrão, ou seja z=\Phi^{-1}(0,975). Para calcular esse quantil usa-se tabela da normal padrão, calculadora estatística ou software; o valor conhecido e arredondado comumente usado é
z\approx 1,96.
Se for necessário maior precisão, z\approx 1,9599639845, normalmente arredondado para 1,96 em provas e aplicações.

Resposta

z\approx 1,96

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