Se Z \sim N(0,1), calcule:
Determine z tal que:
P(Z leq z)=0,30.

Passo 1

O enunciado dá que Z segue a distribuição normal padrão e pede um número z tal que a probabilidade acumulada até z seja 0,30. Ou seja:
P(Z \le z)=0,30.
Informações relevantes:
  • Z\sim N(0,1) (média 0, desvio-padrão 1).
  • Queremos o quantil associado à probabilidade 0,30.

Passo 2

Entendendo o que é pedido (aula rápida e sem enrolação):
  • Defina a função de distribuição acumulada da normal padrão como \Phi(z)=P(Z\le z).
  • O problema pede o inverso dessa função: encontrar z tal que \Phi(z)=0,30. Em símbolos:
z=\Phi^{-1}(0,30).
  • Propriedade de simetria da normal padrão (muito útil): para qualquer a,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Como 0,30<0,5, o quantil procurado será negativo. Podemos usar a simetria para escrever:
\Phi(z)=0,30 \quad\Longrightarrow\quad z=-\Phi^{-1}(0,70),
pois 1-0,30=0,70. Isso transforma o problema em achar o a positivo com \Phi(a)=0,70 e depois trocar o sinal.

Passo 3

Como encontrar numericamente \Phi^{-1}(0,70):
  • Usando uma tabela da normal padrão (que dá valores de \Phi para z com duas casas decimais), procura-se o valor mais próximo de 0,7000 nas probabilidades. Nas tabelas típicas:
    • \Phi(0,52)=0,6985
    • \Phi(0,53)=0,7019
  • O valor 0,7000 está entre esses dois, então interpolamos linearmente entre z=0,52 e z=0,53 para achar o a com \Phi(a)=0,7000.

Passo 4

Interpolação (passo a passo, para poder fazer na prova sem calculadora):
  • Diferença entre os valores da tabela:
\Delta\Phi = 0,7019-0,6985 = 0,0034.
  • Quanto falta de 0,6985 até 0,7000:
\delta = 0,7000-0,6985 = 0,0015.
  • Fração do intervalo:
\text{frac}=\frac{\delta}{\Delta\Phi}=\frac{0,0015}{0,0034}\approx 0,441176.
  • Acrescenta essa fração de 0,01 (a diferença entre 0,52 e 0,53):
a \approx 0,52 + 0,441176\times 0,01 \approx 0,52 + 0,00441176 \approx 0,5244.
Portanto \Phi(0,5244)\approx 0,7000.

Passo 5

Voltando ao sinal negativo (pela simetria):
z=-a \approx -0,5244.
Comentário prático: se usar uma calculadora estatística ou software, obtém-se exatamente \Phi^{-1}(0,30)\approx -0,5244005, que confirma o valor obtido por interpolação.

Resposta

-0,5244

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