- Os símbolos
e
são definidos de tal maneira que a derivada parcial
possa ser interpretada como um quociente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos uma função z=f(x,y) de duas variáveis e queremos mostrar que os símbolos ∂z e ∂x podem ser definidos como diferenciais de modo que o quociente ∂z/∂x corresponda exatamente à derivada parcial de z em relação a x.
Passo 2
A derivada parcial de z em relação a x é definida pelo limite de um quociente de incrementos quando as outras variáveis ficam fixas. Ou seja, lembramos que
Passo 3
Podemos então chamar de
à variação infinitesimal de x (isto é,
no limite) e queremos definir
como o correspondente “diferencial” de z. Na aproximação linear, a mudança total de z é dada por seu diferencial:
$$
dz=\frac{\partial z}{\partial x},dx+\frac{\partial z}{\partial y},dy
\partial z=dz=\frac{\partial z}{\partial x},dx+\frac{\partial z}{\partial y},0=\frac{\partial z}{\partial x},\partial x.
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial x}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x},$$
Passo 4
mostrando que definindo
e
como diferenciais, o símbolo
é interpretado exatamente como quociente dessas diferenciais, igual à derivada parcial desejada.
Resposta
Definindo
como variação infinitesimal de x e
como diferencial de z (com
), ao impor
obtemos
, logo o quociente
é exatamente a derivada parcial
.