1. Os símbolos partial z e partial x são definidos de tal maneira que a derivada parcial partial z / partial x possa ser interpretada como um quociente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma função z=f(x,y) de duas variáveis e queremos mostrar que os símbolos ∂z e ∂x podem ser definidos como diferenciais de modo que o quociente ∂z/∂x corresponda exatamente à derivada parcial de z em relação a x.

Passo 2

A derivada parcial de z em relação a x é definida pelo limite de um quociente de incrementos quando as outras variáveis ficam fixas. Ou seja, lembramos que
partial zpartial x=limDe

Passo 3

Podemos então chamar de partial x à variação infinitesimal de x (isto é, partial x=De no limite) e queremos definir partial z como o correspondente “diferencial” de z. Na aproximação linear, a mudança total de z é dada por seu diferencial:
$$
dz=\frac{\partial z}{\partial x},dx+\frac{\partial z}{\partial y},dy dz=partial zpartial x,dx+partial zpartial y,dyãçã
\partial z=dz=\frac{\partial z}{\partial x},dx+\frac{\partial z}{\partial y},0=\frac{\partial z}{\partial x},\partial x. partial z=dzçã\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial x}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x},$$

Passo 4

mostrando que definindo partial z e partial x como diferenciais, o símbolo partial z/partial x é interpretado exatamente como quociente dessas diferenciais, igual à derivada parcial desejada.

Resposta

Definindo partial x=dx como variação infinitesimal de x e partial z=dz como diferencial de z (com dz=partial zpartial x,dx+partial zpartial y,dy), ao impor dy=0 obtemos partial z=partial zpartial x,partial x, logo o quociente partial z/partial x é exatamente a derivada parcial partial z/partial x.

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