Seja f(x)= 1 / x, & x<0 x^2, & 0 <= x<1 2, & x=1 2-x, & x>1
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(a) lim x -1 f(x).
-(b) lim x 1 f(x).
© lim x 0^+ f(x).
(d) lim x 0^- f(x).
(e) lim x 0 f(x).
=(f) lim x 2^+ f(x).
(g) lim x 2^- f(x).
(h) lim x 2 f(x).

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=1/x,&x<0,x^2,&0<= x<1,2,&x=1,2-x,&x>1
Precisamos esboçar o gráfico dessa função e calcular vários limites laterais e gerais em pontos-chave. O conteúdo envolve análise de funções definidas por partes e limites laterais.

Passo 2

Primeiro, esboçamos o gráfico de cada trecho:
  • Para x<0, temos hipérbole f(x)=1/x.
  • Para 0<= x<1, temos parábola f(x)=x^2, que vai de f(0)=0 até aproximar-se de 1 quando xto1^-.
  • Em x=1, há um ponto isolado em (1,2).
  • Para x>1, é a reta decrescente f(x)=2-x, que passa por (1,1) e decresce indefinidamente.

Passo 3

Agora calculamos limxto-1f(x). Como -1<0, perto de x=-1 usamos f(x)=1/x. Então
limxto-1f(x)=limxto-11x=1-1=-1

Passo 4

Para limxto1f(x) avaliamos limites laterais:
  • Lado esquerdo ( xto1^-): aqui 0<= x<1 e f(x)=x^2, logo x^2to1.
  • Lado direito ( xto1^+): aqui x>1 e f(x)=2-x, logo 2-xto1.
    Como ambos dão 1, temos
limxto1f(x)=1

Passo 5

Para os limites em torno de 0:
  • limxto0^+f(x): se xto0^+ cai no ramo x^2, então
limxto0^+x^2=0
  • limxto0^-f(x): se xto0^- cai em 1/x, então
limxto0^-1x=-infty
Como as duas bombas não coincidem, o limite geral não existe.

Passo 6

Finalmente, para xto2 estamos sempre no ramo f(x)=2-x (pois 2>1), tanto à esquerda quanto à direita. Logo
limxto2^-(2-x)=0,
limxto2^+(2-x)=0,
e assim
limxto2f(x)=0

Resposta

a) -1
b) 1
c) 0
d) -∞
e) não existe
f) 0
g) 0
h) 0

Exercícios relacionados