Precisamos esboçar o gráfico dessa função e calcular vários limites laterais e gerais em pontos-chave. O conteúdo envolve análise de funções definidas por partes e limites laterais.
Passo 2
Primeiro, esboçamos o gráfico de cada trecho:
Para x<0, temos hipérbole f(x)=1/x.
Para 0<= x<1, temos parábola f(x)=x^2, que vai de f(0)=0 até aproximar-se de 1 quando xto1^-.
Em x=1, há um ponto isolado em (1,2).
Para x>1, é a reta decrescente f(x)=2-x, que passa por (1,1) e decresce indefinidamente.
Passo 3
Agora calculamos limxto-1f(x). Como -1<0, perto de x=-1 usamos f(x)=1/x. Então
limxto-1f(x)=limxto-11x=1-1=-1
Passo 4
Para limxto1f(x) avaliamos limites laterais:
Lado esquerdo (xto1^-): aqui 0<= x<1 e f(x)=x^2, logo x^2to1.
Lado direito (xto1^+): aqui x>1 e f(x)=2-x, logo 2-xto1.
Como ambos dão 1, temos
limxto1f(x)=1
Passo 5
Para os limites em torno de 0:
limxto0^+f(x): se xto0^+ cai no ramo x^2, então
limxto0^+x^2=0
limxto0^-f(x): se xto0^- cai em 1/x, então
limxto0^-1x=-infty
Como as duas bombas não coincidem, o limite geral não existe.
Passo 6
Finalmente, para xto2 estamos sempre no ramo f(x)=2-x (pois 2>1), tanto à esquerda quanto à direita. Logo
limxto2^-(2-x)=0,
limxto2^+(2-x)=0,
e assim
limxto2f(x)=0
Resposta
a) -1
b) 1
c) 0
d) -∞
e) não existe
f) 0
g) 0
h) 0