(Simmons pag. 97, exer. 2) Encontre a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0, y(1)=e^2, y^prime(1)=3 e^2.

Passo 1

A questão dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y''-5y'+6y=0 e as condições iniciais y(1)=e^2, y'(1)=3e^2. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2ª ordem; vamos precisar da equação característica e impor as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - 5r + 6 = 0
Resolvendo-a, fatoramos e achamos as raízes:
(r-2)(r-3)=0 implies r1=2,; r2=3
Logo a solução geral é
y(x)=C1e^2x+C2e^3x

Passo 3

Calculamos a derivada e aplicamos as condições em x=1 para obter o sistema:
y'(x)=2C1e^2x+3C2e^3x
y(1)=C1e^2+C2e^3=e^2, y'(1)=2C1e^2+3C2e^3=3e^2
Dividindo cada equação por e^2 fica
C1 + e,C2 = 1, 2C1 + 3e,C2 = 3

Passo 4

Da primeira C1=1-e,C2. Substituindo na segunda vem
2(1-eC2)+3eC2=3implies 2+eC2=3implies eC2=1implies C2=e^-1,; C1=0

Passo 5

Substituindo em y(x)=C1e^2x+C2e^3x obtemos a solução particular.

Resposta

y(x)=e^3x-1

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