(Simmons pag. 97, exer. 2) Encontre a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
, sujeita às condições
e
. Vamos usar teoria de equações lineares e raízes múltiplas do polinômio característico.
Passo 2
Para resolver, montamos o polinômio característico associado à equação homogênea:
Passo 3
Resolvendo
, notamos que é um quadrado perfeito:
Passo 4
Então há uma raiz dupla
. Quando o polinômio característico tem raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
Passo 5
No nosso caso,
, logo
Passo 6
Agora calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Passo 7
Usando
em
:
Passo 8
Usando
em
:
Passo 9
Portanto,
e
, e a solução que satisfaz as condições iniciais é