(Simmons pag. 97, exer. 2) Encontre a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes y'' - 6y' + 9y = 0, sujeita às condições y(0)=0 e y'(0)=5. Vamos usar teoria de equações lineares e raízes múltiplas do polinômio característico.

Passo 2

Para resolver, montamos o polinômio característico associado à equação homogênea:
r^2 - 6r + 9 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 - 6r + 9 = 0, notamos que é um quadrado perfeito:
(r-3)^2 = 0

Passo 4

Então há uma raiz dupla r=3. Quando o polinômio característico tem raiz dupla r, a solução geral da homogênea é
y(t) = C1 e^rt + C2 ,t e^rt

Passo 5

No nosso caso, r=3, logo
y(t) = C1 e^3t + C2 ,t e^3t

Passo 6

Agora calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = C1,3e^3t + C2l(e^3t + 3t e^3tr) = e^3tl(3C1 + C2 + 3C2 tr)

Passo 7

Usando y(0)=0 em y(t):
y(0) = C1 = 0

Passo 8

Usando y'(0)=5 em y'(t):
y'(0) = 3C1 + C2 = C2 = 5

Passo 9

Portanto, C1=0 e C2=5, e a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(t) = 5t e^3t

Resposta

y(t) = 5t e^3t

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