Encontre o limite, se existir. (Sem usar LHospital).
lim x -2 sen(x^2+3 x+2)x+2,
lim x +infty(raiz9 x^2+x-3 x)

Passo 1

O exercício pede para calcular dois limites: um quando x→–2 da expressão com seno e outro quando x→+∞ de uma diferença envolvendo raiz quadrada. Vamos usar para isso o limite fundamental limuto0 sin uu=1 e a técnica de multiplicar pelo conjugado para eliminar raízes.

Passo 2

Para o limite xto-2 de sin(x^2+3x+2)x+2, note que x^2+3x+2=(x+2)(x+1). Defina u=(x+2)(x+1), de modo que uto0 quando xto-2. Então podemos escrever:
sin(x^2+3x+2)x+2=sin uucdotux+2
Como sin uuto1 e ux+2=x+1, o limite vale x+1 em x=-2, ou seja -1.

Passo 3

Para o limite xto+infty de raiz9x^2+x-3x, multiplicamos por raiz9x^2+x+3xraiz9x^2+x+3x para eliminar a raiz:
raiz9x^2+x-3x=9x^2+x-9x^2raiz9x^2+x+3x=xraiz9x^2+x+3x
Agora fatoramos x dentro da raiz e no denominador:
xx(raiz9+1/x+3)=1raiz9+1/x+3
À medida que xto+infty, 1/xto0 e o denominador tende a 3+3=6. Logo o limite é 1/6.

Resposta

-1, tfrac16

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