1. (Simon & Blume - Exercício 7.12) Use a eliminação de Gauss-Jordan na forma matricial para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} w+x+3 y-2 z=0 \\\\ 2 w+3 x+7 y-2 z=9 \\\\ 3 w+5 x+13 y-9 z=1 \\\\ -2 w+x-z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (w,x,y,z) e pede para resolver usando eliminação de Gauss–Jordan na forma matricial. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar pivoteamento e operações elementares de linha até obter a forma reduzida por linhas, de onde lemos diretamente a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & -2 & 0\\\\ 2 & 3 & 7 & -2 & 9\\\\ 3 & 5 & 13 & -9 & 1\\\\ -2& 1 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right]

Passo 3

Usamos o elemento 1 em linha 1, coluna 1 como pivô e eliminamos abaixo: R2 \to R2 – 2\cdotR1,\
R3 \to R3 – 3\cdotR1,\
R4 \to R 4+2\cdotR1. Fica
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 9\\\\ 0 & 2 & 4 & -3 & 1\\\\ 0 & 3 & 6 & -5 & 0 \end{array} \right]

Passo 4

Agora pivotamos em linha 2, coluna 2 pivô =1 e eliminamos acima e abaixo: R1 \to R1 – R2,\
R3 \to R3 – 2\cdotR2,\
R4 \to R4 – 3\cdotR2. Obtemos
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -4 & -9\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 9\\\\ 0 & 0 & 2 & -7 & -17\\\\ 0 & 0 & 3 & -11& -27 \end{array} \right]

Passo 5

Na linha 3, coluna 3 o pivô é 2. Primeiro escalonamos R3 \to \tfrac12·R3, depois eliminamos coluna 3 em R1, R2 e R4: R1 \to R1 – 2\cdotR3,\
R2 \to R2 – R3,\
R4 \to R4 – 3\cdotR3. Fica
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 & 8\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{11}{2} & \tfrac{35}{2}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{7}{2}& -\tfrac{17}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2}& -\tfrac{3}{2} \end{array} \right]

Passo 6

Finalmente, na linha 4, coluna 4 o pivô é -\tfrac12. Escalonamos R4 \to 2\cdotR4 e eliminamos coluna 4 em R1, R2 e R3: R1 \to R1 – 3\cdotR4,\
R2 \to R2 – \tfrac{11}{2}·R4,\
R3 \to R 3+ \tfrac{7}{2}·R4. Chegamos a
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]

Resposta

w = -1, x = 1, y = 2, z = 3.

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