(Simon & Blume - Exercício 9.11) Sabendo que A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{Adj}(A), inverta as seguintes matrizes: \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 5 & 6 \\\\ 1 & 0 & 8\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede para inverter a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 5 & 6\\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix} usando a fórmula A^{-1} \;=\;\frac{1}{\det(A)}\,\Adj(A). Para isso vamos calcular em sequência: (i) o determinante de A, (ii) a matriz de cofatores, (iii) a adjunta \Adj(A)=\bigl(\text{cof}(A)\bigr)^{T} e por fim (iv) multiplicar por 1/\det(A). Passo 2Vamos achar \det(A) pelo método do 3\times 3: \det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}5&6\\\ 0&8\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&6\\\ 1&8\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&5\\\ 1&0\end{pmatrix}. Calculando cada termo: \det\!\begin{pmatrix}5&6\\\ 0&8\end{pmatrix}=5\cdot8-6\cdot0=40, \det\!\begin{pmatrix}0&6\\\ 1&8\end{pmatrix}=0\cdot8-6\cdot1=-6, \det\!\begin{pmatrix}0&5\\\ 1&0\end{pmatrix}=0\cdot0-5\cdot1=-5. Substituindo: \det(A)=1\cdot40-2\cdot(-6)+3\cdot(-5)=40+12-15=37. Passo 3Agora montamos a matriz de cofatores \text{cof}(A), onde cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o minor apropriado com sinal: \text{cof}(A) =\begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 40 & 6 & -5\\\\ -16 & 5 & 2\\\\ -3 & -6 & 5 \end{pmatrix}. A adjunta é o transposto dessa matriz de cofatores: \Adj(A)=\bigl(\text{cof}(A)\bigr)^{T} =\begin{pmatrix} 40 & -16 & -3\\\\ 6 & 5 & -6\\\\ -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}. Passo 4Finalmente, aplicamos A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\Adj(A) =\frac{1}{37} \begin{pmatrix} 40 & -16 & -3\\\\ 6 & 5 & -6\\\\ -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}. Resposta A^{-1} =\frac{1}{37} \begin{pmatrix} 40 & -16 & -3\\\\ 6 & 5 & -6\\\\ -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados (Simon & Blume - Exercício 9.11) Sabendo que A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{Adj}(A), inverta as seguintes matrizes: \left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] (Simon & Blume - Exercício 26.16) Prove os seguintes resultados para matrizes n \times n : \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=[\operatorname{det}(A)]^{k} para todo inteiro k se A é invertível. (Simon & Blume - Exercício 7.16) Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver os seguintes quatro sistemas de equações lineares. Quais variáveis são livres e quais são básicas em cada solução? \left\{\begin{array}{l}w+2 x+y-z=1 \\\\ 3 w-x-y+2 z=3 \\\\ -x+y-z=1 \\\\ 2 w+3 x+3 y-3 z=3\end{array}\right. (Simon & Blume - Exercício 7.16) Use a eliminação de Gauss-Jordan para resolver os seguintes quatro sistemas de equações lineares. Quais variáveis são livres e quais são básicas em cada solução? \left\{\begin{array}{l}w+2 x+y-z=1 \\\\ 3 w-x-y+2 z=3 \\\\ -x+y-z=1 \\\\ 2 w+3 x+3 y-3 z=3\end{array}\right.