1. (Simon & Blume - Exercício 9.11) Sabendo que A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{Adj}(A), inverta as seguintes matrizes:
    \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 5 & 6 \\\\ 1 & 0 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 5 & 6\\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}
usando a fórmula
A^{-1} \;=\;\frac{1}{\det(A)}\,\Adj(A).
Para isso vamos calcular em sequência: (i) o determinante de A, (ii) a matriz de cofatores, (iii) a adjunta \Adj(A)=\bigl(\text{cof}(A)\bigr)^{T} e por fim (iv) multiplicar por 1/\det(A).

Passo 2

Vamos achar \det(A) pelo método do 3\times 3:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}5&6\\\ 0&8\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&6\\\ 1&8\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&5\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Calculando cada termo:
\det\!\begin{pmatrix}5&6\\\ 0&8\end{pmatrix}=5\cdot8-6\cdot0=40,
\det\!\begin{pmatrix}0&6\\\ 1&8\end{pmatrix}=0\cdot8-6\cdot1=-6,
\det\!\begin{pmatrix}0&5\\\ 1&0\end{pmatrix}=0\cdot0-5\cdot1=-5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot40-2\cdot(-6)+3\cdot(-5)=40+12-15=37.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores \text{cof}(A), onde cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o minor apropriado com sinal:
\text{cof}(A) =\begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 40 & 6 & -5\\\\ -16 & 5 & 2\\\\ -3 & -6 & 5 \end{pmatrix}.
A adjunta é o transposto dessa matriz de cofatores:
\Adj(A)=\bigl(\text{cof}(A)\bigr)^{T} =\begin{pmatrix} 40 & -16 & -3\\\\ 6 & 5 & -6\\\\ -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, aplicamos
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\Adj(A) =\frac{1}{37} \begin{pmatrix} 40 & -16 & -3\\\\ 6 & 5 & -6\\\\ -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\frac{1}{37} \begin{pmatrix} 40 & -16 & -3\\\\ 6 & 5 & -6\\\\ -5 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados