(Simon & Blume - Exercício 18.3) Encontre o ponto na parábola
que mais se aproxima do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o ponto da parábola
que está mais próximo de
. Isso é um problema de otimização em uma variável: vamos parametrizar o ponto na curva por
e minimizar a distância (ou, mais fácil, o quadrado da distância) até
.
Passo 2
Seja um ponto genérico da parábola
. A distância ao ponto
é
Como a raiz não altera a posição do mínimo, trabalhamos com
Passo 3
Para achar o mínimo, derivamos
e igualamos a zero:
Logo,
Passo 4
A equação cúbica
não tem raízes racionais simples, mas só existe uma raiz real. Podemos aproximá-la por, por exemplo, método de Newton. Partindo de
:
e refinando mais dá cerca de
Então
Resposta
O ponto da parábola
mais próximo de
é aproximadamente