(Simon & Blume - Exercício 18.3) Encontre o ponto na parábola y=x^{2} que mais se aproxima do ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede o ponto da parábola y=x^{2} que está mais próximo de (2,1). Isso é um problema de otimização em uma variável: vamos parametrizar o ponto na curva por x e minimizar a distância (ou, mais fácil, o quadrado da distância) até (2,1).

Passo 2

Seja um ponto genérico da parábola (x,x^{2}). A distância ao ponto (2,1) é
d(x)=\sqrt{(x-2)^{2} + (x^{2}-1)^{2}}.
Como a raiz não altera a posição do mínimo, trabalhamos com
D(x) = (x-2)^{2} + (x^{2}-1)^{2}.

Passo 3

Para achar o mínimo, derivamos D(x) e igualamos a zero:
D'(x) = 2(x-2) + 2(x^{2}-1)\,\bigl(2x\bigr).
Logo,
D'(x) = 2(x-2) + 4x(x^{2}-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2) + 2x(x^{2}-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{3} - x - 2 = 0.

Passo 4

A equação cúbica
2x^{3} - x - 2 = 0
não tem raízes racionais simples, mas só existe uma raiz real. Podemos aproximá-la por, por exemplo, método de Newton. Partindo de x_{0}=1:
x_{1} = 1 - \frac{2\cdot1^{3}-1-2}{6\cdot1^{2}-1} = 1 - \frac{-1}{5} = 1,2,
x_{2} = 1,2 - \frac{2\cdot1{,}2^{3}-1{,}2-2}{6\cdot1{,}2^{2}-1} \approx 1,1665,
e refinando mais dá cerca de
x \approx 1,1654.
Então
y = x^{2} \approx (1,1654)^{2} \approx 1,3581.

Resposta

O ponto da parábola y=x^{2} mais próximo de (2,1) é aproximadamente
\bigl(1,1654,\;1,3581\bigr).

Exercícios relacionados