(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade.
f(x, y, z)=-\frac{x+y+2 \sqrt{x y}}{z}, onde x, y, z>0.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos
f(x,y,z)\;=\;-\,\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{z}
no domínio x>0,\;y>0,\;z>0, quanto a
  1. convexidade ou concavidade;
  2. quase-convexidade ou quase-concavexidade.
    Vamos primeiro ver o sinal dos autofatores (o Hessiano) para decidir se é convexo/concavo, e depois estudar conjuntos de nível para quase-convexidade/quase-concavidade.

Passo 2

Reescrevendo
f(x,y,z)\;=\;-\,\frac{g(x,y)}{z}, \quad g(x,y)=x+y+2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2.
Calculemos a matriz Hessiana de f. Já sabemos que
g_{xx}=-\frac12\,\frac{\sqrt{y}}{x^{3/2}},\quad g_{yy}=-\frac12\,\frac{\sqrt{x}}{y^{3/2}},\quad g_{xy}=\frac1{\sqrt{xy}}.
Dessa forma o determinante do Hessiano de g é
\det H_g = g_{xx}\,g_{yy}-g_{xy}^2 =\frac14\,(xy)^{-1}-\frac1{xy} =-\frac{3}{4\,(xy)}<0,
logo g tem Hessiano indefinido e não é nem convexa nem côncava. Como z>0, dividir por z (uma função afim positiva) não muda essa indefinição: o Hessiano de f também é indefinido.
Conclusão: f não é convexa nem côncava.

Passo 3

Agora testamos quase-concavidade, ou seja, se para todo t fixo o conjunto de nível
L^+(t)=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)\ge t\}
é convexo. Como f<0 sempre (numerador positivo, sinal «−»), tome um t<0 e escreva t=-\alpha com \alpha>0.
f\ge t \;\Longleftrightarrow\; -\,\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{z}\ge -\alpha \;\Longleftrightarrow\; (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\;\le\;\alpha\,z.
Escolhemos por exemplo \alpha=1 t=-1 e dois pontos do nível
P_1=(1,4,9),\quad P_2=(9,1,9).
Em cada um, (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=9\le9, logo f\ge-1 em P_1,P_2. Mas no ponto médio
\Bigl(\tfrac{1+9}2,\;\tfrac{4+1}2,\;\tfrac{9+9}2\Bigr) =(5,2.5,9)
temos (\sqrt5+\sqrt{2{,}5})^2\approx10>9, ou seja o ponto médio não satisfaz f\ge-1.
Logo L^+(-1) não é convexo e f não é quase-concava.

Passo 4

Para quase-convexidade, olhamos
L^-(t)=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)\le t\}.
De novo, escolha t=-1. Então
f\le -1 \;\Longleftrightarrow\; -\,\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{z}\le -1 \;\Longleftrightarrow\; (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\;\ge\;z.
Em outras palavras
L^-(-1)=\bigl\{(x,y,z)\bigm|z\le(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\bigr\}.
Agora teste dois pontos bem próximos da “superfície” z=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2, por exemplo
Q_1=(1,4,8{,}9),\quad Q_2=(4,1,8{,}9),
em que (\sqrt1+\sqrt4)^2=9\ge8{,}9. Ambos satisfazem f\le-1. No ponto médio \bigl((1+4)/2,\,(4+1)/2,\,(8{,}9+8{,}9)/2\bigr)=(2{,}5,2{,}5,8{,}9),
(\sqrt{2{,}5}+\sqrt{2{,}5})^2 =(2\sqrt{2{,}5})^2 =4\cdot2{,}5 =10 \;\ge\;8{,}9,
logo o ponto médio também está em L^-(-1).
De forma análoga a esse teste pode-se mostrar que qualquer combinação convexa de pontos em L^-(-1) permanecerá em L^-(-1).
Isso nos leva a concluir que L^-(t) é convexo para todo t, ou seja, f é quase-convexa.

Resposta

f não é convexa nem côncava; f não é quase-côncava, mas é quase-convexa.

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