(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade. f(x, y, z)=-\frac{x+y+2 \sqrt{x y}}{z}, onde x, y, z>0.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos
f(x,y,z)\;=\;-\,\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{z}
no domínio x>0,\;y>0,\;z>0, quanto a
convexidade ou concavidade;
quase-convexidade ou quase-concavexidade.
Vamos primeiro ver o sinal dos autofatores (o Hessiano) para decidir se é convexo/concavo, e depois estudar conjuntos de nível para quase-convexidade/quase-concavidade.
logo g tem Hessiano indefinido e não é nem convexa nem côncava. Como z>0, dividir por z (uma função afim positiva) não muda essa indefinição: o Hessiano de f também é indefinido.
Conclusão: f não é convexa nem côncava.
Passo 3
Agora testamos quase-concavidade, ou seja, se para todo t fixo o conjunto de nível
L^+(t)=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)\ge t\}
é convexo. Como f<0 sempre (numerador positivo, sinal «−»), tome um t<0 e escreva t=-\alpha com \alpha>0.
f\ge t \;\Longleftrightarrow\; -\,\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{z}\ge -\alpha \;\Longleftrightarrow\; (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\;\le\;\alpha\,z.
Escolhemos por exemplo \alpha=1 t=-1 e dois pontos do nível
P_1=(1,4,9),\quad P_2=(9,1,9).
Em cada um, (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=9\le9, logo f\ge-1 em P_1,P_2. Mas no ponto médio
logo o ponto médio também está em L^-(-1).
De forma análoga a esse teste pode-se mostrar que qualquer combinação convexa de pontos em L^-(-1) permanecerá em L^-(-1).
Isso nos leva a concluir que L^-(t) é convexo para todo t, ou seja, fé quase-convexa.
Resposta
f não é convexa nem côncava; f não é quase-côncava, mas é quase-convexa.