(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade.
f(x, y, z)=A x^{a} y^{b} z^{c}, onde a, b, c>0;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=A\,x^{a}y^{b}z^{c},
definida para (x,y,z)\in\mathbb{R}_{++}^3 e com parâmetros a,b,c>0.
Queremos classificar f quanto a
  1. convexidade e concavidade,
  2. quase‐convexidade e quase‐concavidade.
    Vamos usar as propriedades de composição de funções (logaritmo e exponencial) e também as condições sobre a soma dos expoentes para decidir concavidade de f.

Passo 2

Definimos
g(x,y,z)=\ln f(x,y,z)=\ln A + a\ln x + b\ln y + c\ln z.
Como \ln A é constante e cada \ln x, \ln y, \ln z é função concava em \mathbb{R}_{++}, a combinação linear
g(x,y,z)=\ln A + a\ln x + b\ln y + c\ln z
com coeficientes a,b,c>0 é concava em todo \mathbb{R}_{++}^3.

Passo 3

Quando g é concava, dizemos que f=\exp\circ g é log‐concava. Uma função log‐concava em \mathbb{R}^n é sempre quasi‐concava. Logo, para quaisquer a,b,c>0 temos: \boxed{f\text{ é quasi‐concava}.}é

Passo 4

Para avaliar a concavidade própria de f, podemos usar o critério conhecido para funções de Cobb–Douglas:
f(x,y,z)=A\,x^{a}y^{b}z^{c}
é concava em \mathbb{R}_{++}^3 se, e somente se,
a + b + c \le 1.
Intuitivamente, quando a soma dos expoentes não ultrapassa 1, o decaimento marginal faz o Hessiano ser negativo semidefinido.

Passo 5

Portanto concluímos:
  • Se a+b+c\le1, então f é concava.
  • Se a+b+c>1, f não é concava.

Passo 6

Sobre convexidade e quase‐convexidade:
  1. f não é convexa para nenhum a,b,c>0, pois o Hessiano é indefinido ou, então, porque log‐concavidade não implica convexidade.
  2. Níveis do tipo \{(x,y,z)\mid f(x,y,z)\le k\} não são conjuntos convexos (repelão de isocurvas típicas de Cobb–Douglas), logo f não é quase‐convexa.

Resposta

A função \displaystyle f(x,y,z)=A\,x^{a}y^{b}z^{c} satisfaz:
(a) é quasi‐concava para todo a,b,c>0;
(b) é concava se, e somente se, a+b+c\le1;
(c) não é convexa;
(d) não é quasi‐convexa.

Exercícios relacionados