(Simon & Blume - Exercício 21.2) Classifique cada uma das funções abaixo de acordo com a sua concavidade/convexidade ou quase-concavidade/quase-convexidade.
, onde
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para
e com parâmetros
.
Queremos classificar quanto a
Queremos classificar
- convexidade e concavidade,
- quase‐convexidade e quase‐concavidade.
Vamos usar as propriedades de composição de funções (logaritmo e exponencial) e também as condições sobre a soma dos expoentes para decidir concavidade de.
Passo 2
Definimos
Como
é constante e cada
,
,
é função concava em
, a combinação linear
com coeficientes
é concava em todo
.
Passo 3
Quando
é concava, dizemos que
é log‐concava. Uma função log‐concava em
é sempre quasi‐concava. Logo, para quaisquer
temos:
Passo 4
Para avaliar a concavidade própria de
, podemos usar o critério conhecido para funções de Cobb–Douglas:
é concava em
se, e somente se,
Intuitivamente, quando a soma dos expoentes não ultrapassa 1, o decaimento marginal faz o Hessiano ser negativo semidefinido.
Passo 5
Portanto concluímos:
- Se
, então é concava. - Se
, não é concava.
Passo 6
Sobre convexidade e quase‐convexidade:
-
não é convexa para nenhum , pois o Hessiano é indefinido ou, então, porque log‐concavidade não implica convexidade. - Níveis do tipo
não são conjuntos convexos (repelão de isocurvas típicas de Cobb–Douglas), logo não é quase‐convexa.
Resposta
A função
satisfaz:
(a) é quasi‐concava para todo ;
(b) é concava se, e somente se, ;
(c) não é convexa;
(d) não é quasi‐convexa.
(a) é quasi‐concava para todo
(b) é concava se, e somente se,
(c) não é convexa;
(d) não é quasi‐convexa.