1. (Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
    \left[\begin{array}{ccc}2 & -4 & 2 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o posto (rank) da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2\\\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O posto de uma matriz é o máximo número de colunas (ou linhas) linearmente independentes, equivalente ao maior tamanho de uma menor não nula.

Passo 2

Para mostrar que \mathrm{rank}(A)=2, basta encontrar alguma menor 2\times2 não nula. Escolhemos as colunas 1 e 3 de A:
M = \begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa submatriz é
\det(M) = 2\cdot 1 \;-\; 2\cdot(-1) = 2 + 2 = 4 \neq 0.
Como existe uma menor 2\times2 não nula, temos \mathrm{rank}(A)\ge2. Por outro lado, A tem apenas 2 linhas, então \mathrm{rank}(A)\le2.

Resposta

\mathrm{rank}(A)=2.

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