1. (Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
    \left[\begin{array}{llll}1 & 6 & -7 & 3 \\\\ 1 & 9 & -6 & 4 \\\\ 1 & 3 & -8 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto (rank) da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 \\\\ 1 & 9 & -6 & 4 \\\\ 1 & 3 & -8 & 4 \end{pmatrix}.
Conteúdo: Álgebra linear, definição de posto como número de pivôs na forma escalonada. Vamos usar eliminação de Gauss para escalonar e contar as linhas não nulas.

Passo 2

Para zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2 e 3, fazemos as operações \mathrm{R}_2\leftarrow \mathrm{R}_2 - \mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_1.

Passo 3

Aplicando essas operações, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 \\\\ 0 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para zerar a entrada da coluna 2 na linha 3, fazemos \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 + \mathrm{R}_2.
Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 \\\\ 0 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que já está em forma escalonada.

Passo 5

Na forma escalonada percebemos três linhas não nulas, logo três pivôs (colunas 1, 2 e 4). Portanto o posto de A é 3.

Resposta

O posto da matriz dada é 3.

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