1. (Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
    \left[\begin{array}{ccccc}1 & 6 & -7 & 3 & 5 \\\\ 1 & 9 & -6 & 4 & 9 \\\\ 1 & 3 & -8 & 4 & 2 \\\\ 2 & 15 & -13 & 11 & 16\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto (rank) da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 & 5\\\\ 1 & 9 & -6 & 4 & 9\\\\ 1 & 3 & -8 & 4 & 2\\\\ 2 & 15 & -13 & 11 & 16 \end{pmatrix}.
Para achar o posto de A, vamos usar operações elementares sobre as linhas para levar a matriz a uma forma em que fique claro quantas linhas são independentes.

Passo 2

Escolhemos a primeira linha como pivô e zeramos a primeira coluna das outras linhas:
R'_2 = R_2 - R_1 = (1,9,-6,4,9) - (1,6,-7,3,5) = (0,3,1,1,4),
R'_3 = R_3 - R_1 = (1,3,-8,4,2) - (1,6,-7,3,5) = (0,-3,-1,1,-3),
R'_4 = R_4 - 2R_1 = (2,15,-13,11,16) - 2\,(1,6,-7,3,5) = (0,3,1,5,6).
Agora a matriz tem a forma
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 & 5\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 4\\\\ 0 & -3 & -1 & 1 & -3\\\\ 0 & 3 & 1 & 5 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos a segunda linha como pivô para reduzir as linhas 3 e 4:
R''_3 = R'_3 + R'_2 = (0,-3,-1,1,-3)+(0,3,1,1,4) = (0,0,0,2,1),
R''_4 = R'_4 - R'_2 = (0,3,1,5,6)-(0,3,1,1,4) = (0,0,0,4,2).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 & 5\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Observamos que a quarta linha é múltiplo da terceira, pois
(0,0,0,4,2) = 2\,(0,0,0,2,1).
Logo as linhas não-nulas independentes são exatamente três: R_1, R'_2 e R''_3. Portanto o posto de A é 3.

Resposta

O posto da matriz é \,3.

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