1. (Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
    \left[\begin{array}{lllll}1 & 6 & -7 & 3 & 1 \\\\ 1 & 9 & -6 & 4 & 2 \\\\ 1 & 3 & -8 & 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o posto (rank) de uma matriz de dimensão 3\times5. O posto de uma matriz é a dimensão do seu espaço de linhas (ou colunas), e podemos encontrá-lo usando operação de eliminação de Gauss para chegar a uma forma escalonada e contar o número de linhas não-nulas.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para criar zeros na primeira coluna abaixo de r_1. Definimos
r_2 \leftarrow r_2 - r_1,\quad r_3 \leftarrow r_3 - r_1.
Isso transforma a matriz original
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 & 1\\\\ 1 & 9 & -6 & 4 & 2\\\\ 1 & 3 & -8 & 4 & 5 \end{pmatrix}
em
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 & 1\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para eliminar o entry -3 na segunda coluna de r_3, somamos r_2 a r_3:
r_3 \leftarrow r_3 + r_2.
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 6 & -7 & 3 & 1\\\\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora a forma obtida é escalonada, e vemos três linhas não-nulas com pivôs em colunas 1, 2 e 4. Dessa forma, a dimensão do espaço de linhas é 3, ou seja, o posto da matriz é 3.

Resposta

O posto da matriz é 3.

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