(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right]
que corresponde a um sistema com m=2 equações e n=3 incógnitas. O conteúdo é o Teorema de Rouché–Capelli: para o sistema Ax=b, (i) o caso homogêneo b=0 é sempre consistente, e a dimensão do espaço de soluções é n-\rank(A); (ii) no caso geral, o sistema é consistente se, e só se, \rank(A)=\rank([A\mid b]), e então o número de soluções é infinito sempre que \rank(A)<n.
Passo 2
Vamos calcular \rank(A). As linhas de A são
r_1=(1,4,3),\quad r_2=(2,1,0).
Não existe escalar \lambda tal que r_2=\lambda\,r_1, pois resolver
(2,1,0)=\lambda\,(1,4,3)
daria \lambda=2 pela primeira componente e \lambda=\tfrac{1}{4} pela segunda, o que é contraditório. Logo as linhas são linearmente independentes e
\rank(A)=2.
Passo 3
No caso homogêneo b=0, o sistema Ax=0 é sempre consistente. A dimensão do espaço de soluções é
n-\rank(A)=3-2=1.
Como há uma dimensão livre, há infinitas soluções.
Passo 4
No caso geral Ax=b, a matriz aumentada [A\mid b] é de tamanho 2\times4, então seu posto satisfaz \rank([A\mid b])\le2. Como \rank(A)=2, teremos sempre
\rank([A\mid b])=2=\rank(A),
ou seja, o sistema é consistente para qualquer vetor b\in\mathbb{R}^2. E como \rank(A)=2<3, a solução geral também tem dimensão 3-2=1, ou seja, infinitas soluções.
Resposta
(i) Há infinitas soluções no caso homogêneo b=0.
(ii) Para qualquer vetor b, o sistema é consistente e tem infinitas soluções.