1. (Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ?
    \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 4 \\\\ 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 4\\\ 0 & 3\end{pmatrix}
que define um sistema A x=b com m=3 equações e n=2 incógnitas. Vamos usar o conceito de posto (rank) de matriz para concluir o número de soluções nos casos (i) homogêneo b=0 e (ii) geral ( b arbitrário).

Passo 2

As colunas de A são
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ 3\end{pmatrix}.
Para verificar se são independentes, consideramos \alpha v_{1}+\beta v_{2}=0. Da terceira linha vem 3\beta=0\implies\beta=0 e então \alpha=0. Logo v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.

Passo 3

Como há duas colunas independentes,
\mathrm{rank}(A)=2.
Note que \mathrm{rank}(A)=n, ou seja, igual ao número de incógnitas.

Passo 4

(i) No caso homogêneo b=0, a dimensão do espaço de soluções é
n-\mathrm{rank}(A)=2-2=0.
Portanto existe somente a solução trivial x=0.

Passo 5

(ii) No caso geral ( b arbitrário), o sistema A x=b é compatível se e somente se b pertencer ao espaço-coluna de A, de dimensão \mathrm{rank}(A)=2. Se b\in\mathrm{Im}(A) então há solução e, como \mathrm{rank}(A)=n, essa solução é única; caso contrário, não há solução.

Resposta

(i) No caso homogêneo existe exatamente uma solução (a trivial).
(ii) No caso geral existe solução única se e somente se b estiver no espaço-coluna de A; caso contrário, não existe solução.

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