1. (Simon & Blume - Exercício 7.2) Resolva os seguintes sistemas por substituição, por eliminação Gaussiana e por eliminação de Gauss-Jordan:
    \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 12 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=-4 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\\\ 12x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=5,\\\\ 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=-4, \end{cases}
e pede para resolvê-lo por três métodos: substituição, eliminação gaussiana e eliminação de Gauss-Jordan. Vamos aplicar em sequência cada técnica, explicando teoria e operações de linha necessárias.

Passo 2

Método da substituição. Da primeira equação isolamos \,x_{1}:
x_{1}=-x_{2}-x_{3}.
Substituímos esse valor em cada uma das outras duas equações:
12(-x_{2}-x_{3})+2x_{2}-3x_{3}=5, \quad 3(-x_{2}-x_{3})+4x_{2}+x_{3}=-4.
Isso gera o sistema em \,x_{2},x_{3}:
-12x_{2}-12x_{3}+2x_{2}-3x_{3}=5, \quad -3x_{2}-3x_{3}+4x_{2}+x_{3}=-4.
Simplificando:
-10x_{2}-15x_{3}=5, \quad x_{2}-2x_{3}=-4.

Passo 3

Resolvendo o sistema em \,x_{2},x_{3}. Dividindo a primeira equação por -5 obtemos
2x_{2}+3x_{3}=-1,
e a segunda é
x_{2}-2x_{3}=-4.
Multiplicamos a segunda por 2 e subtraímos da primeira:
(2x_{2}-4x_{3})-(2x_{2}+3x_{3})=-8-(-1) \;\Longrightarrow\; -7x_{3}=-7 \;\Longrightarrow\; x_{3}=1.
Substituindo em x_{2}-2x_{3}=-4:
x_{2}-2\cdot1=-4 \;\Longrightarrow\; x_{2}=-2.
Finalmente, de x_{1}=-x_{2}-x_{3}:
x_{1}=-(-2)-1=1.

Passo 4

Método da eliminação gaussiana. Montamos a matriz aumentada
\bigl[\,A\mid b\,\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ 12& 2 &-3 &\vline& 5\\\\ 3 & 4 & 1 &\vline& -4 \end{pmatrix}.
Zeramos abaixo do pivô da primeira coluna:
R_{2}\leftarrow R_{2}-12\,R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-3\,R_{1},
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ 0 & -10& -15&\vline& 5\\\\ 0 & 1 & -2 &\vline& -4 \end{pmatrix}.
Em seguida, usamos o pivô -10 para zerar o elemento em posição (3,2):
R_{3}\leftarrow R_{3}+\tfrac{1}{10}R_{2},
obtendo a forma triangular:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ 0 & -10 & -15 &\vline& 5\\\\ 0 & 0 & 1 &\vline& 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Back-substitution na forma triangular:
da terceira linha vem \,x_{3}=1.
Substituindo na segunda:
-10x_{2}-15(1)=5 \;\Longrightarrow\; -10x_{2}=20 \;\Longrightarrow\; x_{2}=-2.
Finalmente na primeira:
x_{1}+(-2)+1=0 \;\Longrightarrow\; x_{1}=1.

Passo 6

Método de Gauss-Jordan. Partindo da matriz triangular do passo anterior, continuamos as operações até reduzir à forma escada reduzida (identidade na parte 3\times3):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ 0 & -10 & -15 &\vline& 5\\\\ 0 & 0 & 1 &\vline& 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\leftarrow R_{2}+15\,R_{3}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ 0 & -10& 0 &\vline& 20\\\\ 0 & 0 & 1 &\vline& 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{10}R_{2}}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ 0 & 1 & 0 &\vline& -2\\\\ 0 & 0 & 1 &\vline& 1 \end{pmatrix}
\xrightarrow{R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\vline& -1\\\\ 0 & 1 & 0 &\vline& -2\\\\ 0 & 0 & 1 &\vline& 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\vline& 1\\\\ 0 & 1 & 0 &\vline& -2\\\\ 0 & 0 & 1 &\vline& 1 \end{pmatrix}.
Daí lemos imediatamente \,x_{1}=1, \,x_{2}=-2, \,x_{3}=1.

Resposta

Por todos os métodos, a solução é
(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,\,-2,\,1).

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