Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{5^{2 n+3}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{5^{2n+3}}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou do termo geral) para séries.

Passo 2

Denotemos
a_n = \frac{(-n)^{n}}{5^{2n+3}}.
Para qualquer série, uma condição necessária de convergência é
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se esse limite não for zero, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Calculemos o valor absoluto de a_n:
|a_n| = \frac{n^n}{5^{2n+3}} = \frac{1}{5^3}\,\frac{n^n}{25^n} = \frac{1}{125}\Bigl(\frac{n}{25}\Bigr)^{n}.
Como para n grande \frac{n}{25}>1, o fator \bigl(\tfrac{n}{25}\bigr)^n cresce sem limite. Logo
|a_n|\to\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\not\to0.
Portanto a série não satisfaz a condição necessária de convergência.

Resposta

A série é divergente.

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