Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n!}
e nos pede para classificar sua convergência absoluta, condicional ou divergente. Vamos usar o teste da razão aplicado à série de termos absolutos, pois se \sum |a_n|
converge, então a série original converge absolutamente.

Passo 2

Denotemos
a_n = \left|\frac{(-3)^{n}}{n!}\right| = \frac{3^{n}}{n!}.
Aplicamos o teste da razão em \sum a_n:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1} = 0.

Passo 3

Como L=0<1, a série \sum a_n = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}
converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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