Um simples projeto para dimensionamento de uma tubulação contém os seguintes dados: vazão de 3,0 litros por segundo, comprimento de 100 m e uma perda de carga pré-determinada de 10 m.c.a. Assim devemos calcular o diâmetro teórico e comercial, ajustar a vazão para o diâmetro comercial e recalcular a perda de carga para as condições de diâmetro comercial e a vazão inicial de projeto ( 3,0 litros por segundo). Utilizar as equações de Flamant ( \mathrm{b}=0,000135 PVC) e Hazen-Williams ( \mathrm{C}=140 FERRO FUNDIDO).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as seguintes coisas:
Dados (convertidos quando necessário serão mostrados nos passos seguintes):
  • Vazão de projeto: 3{,}0 litros por segundo.
  • Comprimento da tubulação: 100 m.
  • Perda de carga pré-determinada: 10 m.c.a.
  • Coeficiente para Flamant (PVC): b=0{,}000135.
  • Coeficiente para Hazen–Williams (ferro fundido): C=140.
Perguntas que precisamos responder:
  1. Calcular o diâmetro teórico usando a equação de Flamant.
  2. Escolher o diâmetro comercial (próximo, geralmente maior ou igual ao teórico) e, para esse diâmetro comercial:
    • Ajustar a vazão (ou seja, calcular a vazão que caberia mantendo a perda de carga de 10 m com esse diâmetro).
    • Recalcular a perda de carga quando este diâmetro comercial for usado com a vazão inicial de projeto ( 3{,}0 L/s).
  3. Repetir 1) e 2) usando a equação de Hazen–Williams (com C=140).

Passo 2

Primeiro cuidado prático: passar a vazão para unidades SI compatíveis com as fórmulas (metros cúbicos por segundo).
  • Vazão de projeto: 3{,}0\\ \text{L/s} = 3{,}0\times 10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s} = 0{,}003\\ \text{m}^3/\text{s}.
Vou tratar cada método separadamente (Flamant e Hazen–Williams).

Passo 3

Explicando a equação de Flamant (bem devagar, com cada símbolo):
  • A fórmula utilizada (forma empírica usada em projetos) é
h_f = b\,L\,\frac{Q^2}{D^5},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m);
  • b é o coeficiente de Flamant dependente do material (aqui b=0{,}000135 para PVC);
  • L é o comprimento da tubulação (m);
  • Q é a vazão (m^3/s);
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m).
Isolando D para obter o diâmetro teórico (vamos tirar a quinta raiz), temos:
D = \left(\frac{b\,L\,Q^2}{h_f}\right)^{1/5}.
Neste passo eu mostro a relação e explico que a operação é elevar à potência 1/5 (quinta raiz).

Passo 4

Aplicando Flamant com os dados:
  • Substituindo b=0{,}000135, L=100\\ \text{m}, Q=0{,}003\\ \text{m}^3/\text{s} e h_f=10\\ \text{m} na expressão de D:
D = \left(\frac{0{,}000135 \times 100 \times (0{,}003)^2}{10}\right)^{1/5}.
Faço as contas passo a passo:
  • (0{,}003)^2 = 9{,}0\times 10^{-6}.
  • 0{,}000135 \times 100 \times 9{,}0\times 10^{-6} = 1{,}215\times 10^{-7}.
  • Dividindo por 10 1{,}215\times 10^{-8}.
  • Quinta raiz: D = (1{,}215\times 10^{-8})^{1/5}.
Calculando numericamente (quinta raiz):
D \approx 0{,}0262\\ \text{m} = 26{,}2\\ \text{mm}.
Portanto o diâmetro teórico pela fórmula de Flamant é \boxed{0{,}0262\\ \text{m}}.

Passo 5

Escolha do diâmetro comercial (Flamant): em projeto normalmente escolhe-se o próximo diâmetro comercial igual ou imediatamente maior que o teórico para garantir capacidade. Os diâmetros comerciais comuns (PVC) incluem 25 mm, 32 mm, 40 mm, etc. Como o teórico deu 26{,}2\\ \text{mm}, o próximo diâmetro comercial maior é 32\\ \text{mm} = 0{,}032\\ \text{m}. Vou adotar
D_{com} = 0{,}032\\ \text{m}.

Passo 6

Agora, ainda no contexto de Flamant, calculamos a vazão ajustada que cabe nesse diâmetro comercial mantendo a perda de carga h_f=10 m. Da equação de Flamant, isolando Q:
Q = \sqrt{\frac{h_f\,D^5}{b\,L}}.
Substituo h_f=10, D=0{,}032, b=0{,}000135, L=100:
  • Primeiro D^5 = (0{,}032)^5 \approx 3{,}35544\times 10^{-8}.
  • Numerador: 10 \times 3{,}35544\times 10^{-8} = 3{,}35544\times 10^{-7}.
  • Denominador: bL = 0{,}000135 \times 100 = 0{,}0135.
  • Dividindo: 3{,}35544\times 10^{-7} / 0{,}0135 \approx 2{,}4855\times 10^{-5}.
  • Raiz quadrada: Q \approx \sqrt{2{,}4855\times 10^{-5}} \approx 0{,}00499\\ \text{m}^3/\text{s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q \approx 4{,}99\\ \text{L/s}.
Logo, com D_{com}=32 mm e perda de carga permitida 10 m, a tubulação poderia transportar cerca de 4{,}99 L/s (Flamant).

Passo 7

Ainda em Flamant: recalcular a perda de carga se usarmos D_{com}=0{,}032\\ \text{m} mas mantendo a vazão inicial de projeto Q=3{,}0\\ \text{L/s}=0{,}003\\ \text{m}^3/\text{s}. Usamos
h_f = b\,L\,\frac{Q^2}{D^5}.
Já calculamos b\,L\,Q^2 = 1{,}215\times 10^{-7} (ver Passo 4) e D^5 = 3{,}35544\times 10^{-8}, então
h_f \approx \frac{1{,}215\times 10^{-7}}{3{,}35544\times 10^{-8}} \approx 3{,}62\\ \text{m}.
Portanto, com D_{com}=32 mm e Q=3{,}0 L/s, a perda de carga será aproximadamente 3{,}62 m (bem menor que os 10 m permitidos).

Passo 8

Agora passo para Hazen–Williams. Vou explicar a fórmula e seus símbolos:
  • A fórmula (forma prática em hidráulica de água) é
h_f = 10{,}67\,L\,\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m);
  • L é o comprimento (m);
  • Q é a vazão (m^3/s);
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (material; aqui C=140);
  • D é o diâmetro interno (m).
    Essa fórmula tem expoentes empíricos aproximados 1{,}852 e 4{,}871; a constante 10{,}67 é adequada para unidades SI (m, m^3/s).
Isolando D para obter o diâmetro teórico:
D = \left(\frac{10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}\right)^{1/4{,}871}.

Passo 9

Aplicando Hazen–Williams com os dados:
  • Substituo L=100, Q=0{,}003, C=140, h_f=10:
D = \left(\frac{10{,}67 \times 100 \times (0{,}003)^{1{,}852}}{140^{1{,}852} \times 10}\right)^{1/4{,}871}.
Faço as contas por partes:
  • Calculo Q^{1{,}852}} \approx (0{,}003)^{1{,}852} \approx 2{,}125\times 10^{-5}.
  • Calculo C^{1{,}852} \approx 140^{1{,}852} \approx 9{,}41\times 10^{3}.
  • Numerador: 10{,}67 \times 100 \times 2{,}125\times 10^{-5} \approx 0{,}022684.
  • Dividindo por C^{1{,}852} e por h_f=10 \approx 2{,}411\times 10^{-7}.
  • Agora a potência 1/4{,}871 (quase a quinta raiz): D \approx (2{,}411\times 10^{-7})^{1/4{,}871} \approx 0{,}0439\\ \text{m}.
Portanto o diâmetro teórico pela fórmula de Hazen–Williams é \boxed{0{,}0439\\ \text{m}} (≈ 43{,}9 mm).

Passo 10

Escolha do diâmetro comercial (Hazen–Williams): o diâmetro teórico deu 43{,}9 mm, então o próximo diâmetro comercial maior normalmente é 50 mm = 0{,}050 m. Adoto
D_{com} = 0{,}050\\ \text{m}.

Passo 11

Ainda Hazen–Williams: calcular a vazão ajustada que cabe em D_{com}=0{,}050 m para manter h_f=10 m. Inversão da fórmula para Q:
Q = \left(\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}{10{,}67\,L}\right)^{1/1{,}852}.
Substituindo:
  • Calculo D^{4{,}871}} = (0{,}050)^{4{,}871} \approx 4{,}638\times 10^{-7}.
  • C^{1{,}852} \approx 9{,}41\times 10^{3}.
  • Produto h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871} \approx 10 \times 9{,}41\times 10^{3} \times 4{,}638\times 10^{-7} \approx 0{,}04366.
  • Dividindo por 10{,}67\times 100 = 1067 \approx 4{,}093\times 10^{-5}.
  • Potência 1/1{,}852 (que é aproximadamente 0{,}5399): Q \approx (4{,}093\times 10^{-5})^{0{,}5399} \approx 0{,}00427\\ \text{m}^3/\text{s}.
Convertendo:
Q \approx 4{,}27\\ \text{L/s}.
Portanto, com D_{com}=50 mm e perda de carga 10 m, a tubulação poderia transportar cerca de 4{,}27 L/s (Hazen–Williams).

Passo 12

Finalmente, com Hazen–Williams, recalculo a perda de carga se usarmos D_{com}=0{,}050\\ \text{m} e a vazão inicial de projeto Q=0{,}003\\ \text{m}^3/\text{s}:
h_f = 10{,}67\,L\,\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}.
Usando os valores já computados:
  • Numerador 10{,}67\times 100 \times Q^{1{,}852} \approx 0{,}022684 (ver Passo 9).
  • Denominador C^{1{,}852}\,D^{4{,}871} \approx 9{,}41\times 10^{3} \times 4{,}638\times 10^{-7} \approx 0{,}004366.
  • Dividindo: h_f \approx 0{,}022684 / 0{,}004366 \approx 5{,}20\\ \text{m}.
Logo, com D_{com}=50 mm e Q=3{,}0 L/s, a perda de carga será aproximadamente 5{,}20 m.

Resposta

Flamant: D_{teórico}=0{,}0262\\ \text{m}ó ; D_{comercial}=0{,}032\\ \text{m} ; vazão ajustada para D_{com}= 4{,}99\\ \text{L/s} ; perda de carga para D_{com} com Q=3{,}0\\ \text{L/s} = 3{,}62\\ \text{m}
Hazen–Williams: D_{teórico}=0{,}0439\\ \text{m}ó ; D_{comercial}=0{,}050\\ \text{m} ; vazão ajustada para D_{com}= 4{,}27\\ \text{L/s} ; perda de carga para D_{com} com Q=3{,}0\\ \text{L/s} = 5{,}20\\ \text{m}

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