Uma turbina de reação é projetada para produzir 24.000 hp a 120 rpm , com uma altura de carga de 150 ft . Bancadas de laboratório estão disponíveis para fornecer 30 ft de altura de carga e para absorver 45 hp da turbina modelo. Considere eficiências comparáveis para as turbinas modelo e protótipo. Determine a velocidade, a razão de escala e a vazão volumétrica apropriadas para o teste do modelo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas.
Dados:
Bancada (limitações do ensaio):
Pedidos (o que temos que determinar):
- a velocidade de rotação do modelo
(em rpm), - a razão de escala linear
, - a vazão volumétrica do modelo
apropriada para o ensaio (se possível em relação à vazão do protótipo).
Observações importantes (fornecidas pelo enunciado):
- As turbinas modelo e protótipo têm eficiências comparáveis (ou seja,
), o que permite usar as leis de semelhança sem considerar diferenças de eficiência.
Passo 2
Conceitos e leis fundamentais (explicação didática).
Quando temos duas máquinas geometricamente semelhantes (mesma forma, só diferentes tamanhos) e queremos que o modelo teste represente o protótipo, usamos as leis de semelhança para máquinas rotativas:
Quando temos duas máquinas geometricamente semelhantes (mesma forma, só diferentes tamanhos) e queremos que o modelo teste represente o protótipo, usamos as leis de semelhança para máquinas rotativas:
Definimos
As dependências básicas (relembrando e explicando):
- A altura de carga (energia por unidade de peso) escala como o quadrado da velocidade periférica. Como a velocidade periférica é proporcional a
, temos
Aqui
é medido em comprimento (ft),
em rpm (proporcional a velocidade angular) e
em ft; a constante de proporcionalidade depende de g, geometria, etc., mas para máquinas geometricamente semelhantes ela cancela na razão.
- A potência (eixo ou absorvida) hidráulica escala como
Na forma de razão entre modelo e protótipo:
- A vazão volumétrica escala como
Essas três relações são as que vamos usar. Explico o porquê de cada uma, resumindo:
-
depende da energia por unidade de massa que é ~ velocidade^2 (por isso ); -
é uma velocidade característica vezes uma área característica ; -
combina e (pois ), resultando em .
Passo 3
Aplicando a relação de alturas para usar a limitação da bancada.
Usamos a igualdade de semelhança para a altura:
Usamos a igualdade de semelhança para a altura:
Substituindo os valores conhecidos (
ft e
ft):
Tomando raízes:
Chamarei esse produto de constante
:
Passo 4
Aplicando a relação de potências para usar a limitação de potência da bancada.
Usamos
Usamos
Assumimos que vamos usar o máximo que a bancada pode absorver, isto é
hp. Substituindo
hp:
Agora substituímos
por
(da relação do passo anterior) para eliminar
:
Logo
Passo 5
Cálculo numérico da razão de escala
.
Primeiro calculo . Como
, temos
Primeiro calculo
Então
portanto
Interpretação: o diâmetro linear do modelo deve ser
ou seja, o modelo é aproximadamente
em escala linear (
).
Passo 6
Cálculo da razão de velocidades
e da velocidade do modelo
.
Usando :
Usando
Como
e
,
Arredondando de forma prática, pode-se usar
(ou 370,4 rpm se quiser precisão).
Passo 7
Cálculo da vazão do modelo em relação à vazão do protótipo.
Usamos a lei de vazão:
Usamos a lei de vazão:
Já temos
e
. Primeiro calculo
:
Então
Isto significa que
Em outras palavras, a vazão do modelo deve ser cerca de
da vazão do protótipo.
Observação didática: não calculamos um valor absoluto para
(em ft^3/s) porque o enunciado não fornece a vazão do protótipo
nem a eficiência numérica
. Se tivéssemos
ou
(e assumindo água com
conhecida), poderíamos obter
em unidades absolutas; entretanto a razão acima é suficiente para dimensionar o ensaio (por exemplo, ajustando medidores e tubulações para cerca de 0,938% do fluxo real).
Passo 8
Resumo final dos valores calculados (interpretação física e checagem rápida).
- A bancada fornece apenas
ft de carga, menor que os ft do protótipo, então o modelo precisa girar mais rápido e ser menor para que a combinação gere a altura proporcional correta. - Com a limitação de potência da bancada (45 hp) também impusemos um teto em
, o que determinou unicamente e . - Valores obtidos são consistentes entre as três leis de semelhança (H, P e Q).