Uma turbina de reação é projetada para produzir 24.000 hp a 120 rpm , com uma altura de carga de 150 ft . Bancadas de laboratório estão disponíveis para fornecer 30 ft de altura de carga e para absorver 45 hp da turbina modelo. Considere eficiências comparáveis para as turbinas modelo e protótipo. Determine a velocidade, a razão de escala e a vazão volumétrica apropriadas para o teste do modelo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas.
Dados:
P_p = 24000\\ \text{hp},\quad N_p = 120\\ \text{rpm},\quad H_p = 150\\ \text{ft}.
Bancada (limitações do ensaio):
H_{m,\text{disp}} = 30\\ \text{ft},\quad P_{m,\text{disp}} = 45\\ \text{hp}.
Pedidos (o que temos que determinar):
  • a velocidade de rotação do modelo \;N_m\; (em rpm),
  • a razão de escala linear \; \alpha = \dfrac{D_m}{D_p}\;,
  • a vazão volumétrica do modelo \;Q_m\; apropriada para o ensaio (se possível em relação à vazão do protótipo).
Observações importantes (fornecidas pelo enunciado):
  • As turbinas modelo e protótipo têm eficiências comparáveis (ou seja, \eta_m\approx\eta_p), o que permite usar as leis de semelhança sem considerar diferenças de eficiência.

Passo 2

Conceitos e leis fundamentais (explicação didática).
Quando temos duas máquinas geometricamente semelhantes (mesma forma, só diferentes tamanhos) e queremos que o modelo teste represente o protótipo, usamos as leis de semelhança para máquinas rotativas:
Definimos
\alpha=\frac{D_m}{D_p}\quad\text{(razão linear de dimensões),}ãõ
\beta=\frac{N_m}{N_p}\quad\text{(razão de velocidades angulares ou de rotação).}ãçã
As dependências básicas (relembrando e explicando):
  • A altura de carga (energia por unidade de peso) escala como o quadrado da velocidade periférica. Como a velocidade periférica é proporcional a N D, temos
H \propto (N D)^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{H_m}{H_p}=\beta^2\alpha^2.
Aqui H é medido em comprimento (ft), N em rpm (proporcional a velocidade angular) e D em ft; a constante de proporcionalidade depende de g, geometria, etc., mas para máquinas geometricamente semelhantes ela cancela na razão.
  • A potência (eixo ou absorvida) hidráulica escala como
P \propto \rho g \,Q H \quad\text{e, por semelhança,}\quad P \propto N^3 D^5.ç
Na forma de razão entre modelo e protótipo:
\frac{P_m}{P_p}=\beta^3\alpha^5.
  • A vazão volumétrica escala como
Q \propto N D^3 \quad\Rightarrow\quad \frac{Q_m}{Q_p}=\beta\,\alpha^3.
Essas três relações são as que vamos usar. Explico o porquê de cada uma, resumindo:
  • H depende da energia por unidade de massa que é ~ velocidade^2 (por isso N^2 D^2);
  • Q é uma velocidade característica vezes uma área característica \Rightarrow (N D) \cdot D^2 = N D^3;
  • P combina Q e H (pois P \sim \rho g Q H), resultando em N^3 D^5.

Passo 3

Aplicando a relação de alturas para usar a limitação da bancada.
Usamos a igualdade de semelhança para a altura:
\frac{H_m}{H_p}=\beta^2\alpha^2.
Substituindo os valores conhecidos ( H_m=30 ft e H_p=150 ft):
\frac{30}{150}=\beta^2\alpha^2 \quad\Rightarrow\quad 0,2=\beta^2\alpha^2.
Tomando raízes:
\beta\alpha=\sqrt{0,2} \approx 0{,}4472135955.
Chamarei esse produto de constante k:
k=\beta\alpha=\sqrt{0{,}2}\approx0{,}4472136.

Passo 4

Aplicando a relação de potências para usar a limitação de potência da bancada.
Usamos
\frac{P_m}{P_p}=\beta^3\alpha^5.
Assumimos que vamos usar o máximo que a bancada pode absorver, isto é P_m=45 hp. Substituindo P_p=24000 hp:
\beta^3\alpha^5=\frac{45}{24000}=0{,}001875.
Agora substituímos \beta por k/\alpha (da relação do passo anterior) para eliminar \beta:
\left(\frac{k}{\alpha}\right)^3 \alpha^5 = k^3 \alpha^{2} = 0{,}001875.
Logo
\alpha^2 = \frac{0{,}001875}{k^3}.

Passo 5

Cálculo numérico da razão de escala \alpha.
Primeiro calculo k^3. Como k=\sqrt{0{,}2}, temos
k^3 = (\sqrt{0{,}2})^3 = 0{,}2\sqrt{0{,}2}\approx 0{,}0894427191.
Então
\alpha^2=\frac{0{,}001875}{0{,}0894427191}\approx 0{,}020961,
portanto
\alpha=\sqrt{0{,}020961}\approx 0{,}14478.
Interpretação: o diâmetro linear do modelo deve ser
\alpha=\frac{D_m}{D_p}\approx 0{,}1448,
ou seja, o modelo é aproximadamente 1:6{,}91 em escala linear ( 1/0{,}1448\approx6{,}91).

Passo 6

Cálculo da razão de velocidades \beta e da velocidade do modelo N_m.
Usando \beta=k/\alpha:
\beta=\frac{0{,}4472136}{0{,}14478}\approx 3{,}08703.
Como \beta=N_m/N_p e N_p=120\\ \text{rpm},
N_m=\beta N_p \approx 3{,}08703\times 120\\ \text{rpm}\approx 370{,}44\\ \text{rpm}.
Arredondando de forma prática, pode-se usar N_m\approx 370\\ \text{rpm} (ou 370,4 rpm se quiser precisão).

Passo 7

Cálculo da vazão do modelo em relação à vazão do protótipo.
Usamos a lei de vazão:
\frac{Q_m}{Q_p}=\beta\,\alpha^3.
Já temos \alpha e \beta. Primeiro calculo \alpha^3:
\alpha^3\approx (0{,}14478)^3\approx 0{,}003038.
Então
\frac{Q_m}{Q_p}\approx 3{,}08703\times 0{,}003038 \approx 0{,}00938.
Isto significa que
Q_m \approx 0{,}00938\;Q_p.
Em outras palavras, a vazão do modelo deve ser cerca de 0{,}938\% da vazão do protótipo.
Observação didática: não calculamos um valor absoluto para Q_m (em ft^3/s) porque o enunciado não fornece a vazão do protótipo Q_p nem a eficiência numérica \eta. Se tivéssemos Q_p ou \eta (e assumindo água com \gamma conhecida), poderíamos obter Q_m em unidades absolutas; entretanto a razão acima é suficiente para dimensionar o ensaio (por exemplo, ajustando medidores e tubulações para cerca de 0,938% do fluxo real).

Passo 8

Resumo final dos valores calculados (interpretação física e checagem rápida).
  • A bancada fornece apenas 30 ft de carga, menor que os 150 ft do protótipo, então o modelo precisa girar mais rápido e ser menor para que a combinação N_mD_m gere a altura proporcional correta.
  • Com a limitação de potência da bancada (45 hp) também impusemos um teto em \beta^3\alpha^5, o que determinou unicamente \alpha e \beta.
  • Valores obtidos são consistentes entre as três leis de semelhança (H, P e Q).

Resposta

N_m \approx 370{,}4\\ \text{rpm}
\dfrac{D_m}{D_p} \approx 0{,}1448 (razão linear; escala ≈ 1:6{,}91)
Q_m \approx 0{,}00938\;Q_p (isto é, cerca de 0{,}938\% da vazão do protótipo)

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