(30 pontos ) Um conjunto pistão-cilíndro contém uma mistura 0,06 \mathrm{~kg} de água líquida e 0,04 \mathrm{~kg} de vapor d’água a pressão de 10 kPa . O conjunto éaquecido segundo um processo isobárico até alcançar um volume de 1,719561 \mathrm{~m}^{3}. Determine o trabalho realizado e o calor transferido durante a mudança de estado.
p V=m R\left(T_{2}-T_{1}\right)

Passo 1

O enunciado dá um conjunto pistão‑cilindro contendo 0{,}06\\ \mathrm{kg} de água líquida e 0{,}04\\ \mathrm{kg} de vapor d’água à pressão 10\\ \mathrm{kPa}. O sistema é aquecido isobaricamente até que o volume total alcance 1{,}719561\\ \mathrm{m^{3}}. Pede‑se: o trabalho realizado W e o calor transferido Q durante a mudança de estado.
Informações dadas (resumindo):
\begin{aligned} &m_{\ell} &=&\; 0{,}06\\ \mathrm{kg}\quad(\text{massa de líquido})\\\ &m_{v} &=&\; 0{,}04\\ \mathrm{kg}\quad(\text{massa de vapor})\\\ &m &=&\; 0{,}10\\ \mathrm{kg}\quad(\text{massa total})\\\ &p &=&\; 10\\ \mathrm{kPa}\\\ &V_{2} &=&\; 1{,}719561\\ \mathrm{m^{3}}. \end{aligned}í
Observações importantes (não resolvemos ainda): o processo é isobárico; inicialmente há mistura líquido–vapor (qualidade inicial x_1); durante o aquecimento a pressão fixa em 10\\ \mathrm{kPa} corresponde à temperatura de saturação inicial T_1. Não começo a resolver aqui — apenas organizei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Determinar o volume inicial V_{1}. Para isso preciso dos volumes específicos saturados à pressão p=10\\ \mathrm{kPa}. Peguei esses valores em tabela de vapor d’água (tabela de saturação para p=10\\ \mathrm{kPa}):
v_{f}=0{,}001012\\ \mathrm{m^{3}/kg},\qquad v_{g}=14{,}670\\ \mathrm{m^{3}/kg},
e a temperatura de saturação correspondente:
T_{1}=45{,}81^\circ\mathrm{C}=318{,}96\\ \mathrm{K}.
A qualidade (fração mássica de vapor) inicial é
x_{1}=\frac{m_{v}}{m}=\frac{0{,}04}{0{,}10}=0{,}4.
O volume específico inicial v_{1} da mistura é
v_{1}=(1-x_{1})\,v_{f}+x_{1}\,v_{g}=0{,}6\cdot v_{f}+0{,}4\cdot v_{g}.
Agora calculo V_{1}=m\,v_{1}.

Passo 3

Cálculo numérico de V_{1}:
\begin{aligned} v_{1}&=0{,}6\cdot 0{,}001012 + 0{,}4\cdot 14{,}670\\[4pt] &=0{,}00006072 + 5{,}8680\\[4pt] &=5{,}86806072\\ \mathrm{m^{3}/kg}\quad\text{(este é o }v_{1}\text{)}. \end{aligned}é
Portanto o volume inicial total é
V_{1}=m\,v_{1}=0{,}10\cdot 5{,}86806072=0{,}58686072\\ \mathrm{m^{3}}.]

Passo 4

Cálculo do trabalho W para processo isobárico. Fórmula geral para trabalho em processo de pressão constante:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,\mathrm{d}V = p\,(V_{2}-V_{1}).
Observação de unidades útil na prática: 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^{3}}=1\\ \mathrm{kJ}. Então uso p em \mathrm{kPa} e volumes em \mathrm{m^{3}} para obter W em \mathrm{kJ}. Calculo:
\begin{aligned} \Delta V &= V_{2}-V_{1}=1{,}719561-0{,}58686072=1{,}13270028\\ \mathrm{m^{3}},\\[4pt] W &= p\,\Delta V = 10\\ \mathrm{kPa}\cdot 1{,}13270028\\ \mathrm{m^{3}} = 11{,}3270028\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}]

Passo 5

Explicar e aplicar a equação fornecida pelo enunciado: p(V_{2}-V_{1})=mR(T_{2}-T_{1}). Isso vem da equação de estado do gás perfeito pV=mRT escrita na forma para a variação: p\Delta V=mR\Delta T. Aqui estou assumindo que, após a completa vaporização, o vapor superaquecido pode ser aproximado como gás perfeito e que podemos aplicar a relação para calcular a variação de temperatura associada à variação de volume total sob pressão fixa. Vou usar a constante dos vapores d’água:
R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Isolo \Delta T:
\Delta T = T_{2}-T_{1} = \frac{p\,(V_{2}-V_{1})}{mR}.
Agora calculo numericamente.

Passo 6

Cálculo de \Delta T e T_{2}:
\begin{aligned} \Delta T &= \frac{11{,}3270028\\ \mathrm{kJ}}{0{,}10\cdot 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}} = \frac{11{,}3270028}{0{,}04615}\\ \mathrm{K}\\[4pt] &=245{,}44974\\ \mathrm{K}. \end{aligned}
Portanto
T_{2}=T_{1}+\Delta T = 318{,}96\\ \mathrm{K} + 245{,}44974\\ \mathrm{K} = 564{,}40974\\ \mathrm{K}.
(Em graus Celsius: T_{2}=564{,}41-273{,}15=291{,}26^\circ\mathrm{C}.)]

Passo 7

Calcular a variação de energia interna \Delta U. Para vapor tratado como gás perfeito com calor específico a volume constante aproximadamente constante, usamos
\Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}).
Expliquei: c_{v} é o calor específico a volume constante do vapor d’água; representa quanto a energia interna por unidade de massa muda por grau de temperatura. Vou adotar um valor médio razoável para vapor d’água em superaquecimento:
c_{v}=1{,}407\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
(este valor é uma aproximação comum em exercícios; se você tiver tabelas mais precisas para a temperatura final, use o c_v correspondente). Então:
\begin{aligned} \Delta U &= m\,c_{v}\,\Delta T = 0{,}10\cdot 1{,}407\cdot 245{,}44974\\[4pt] &=34{,}5347784\\ \mathrm{kJ}\approx 34{,}535\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}]

Passo 8

Aplicar balanço de energia para sistema fechado (primeira lei): Q=\Delta U + W. Já tenho \Delta U e W. Então:
\begin{aligned} Q &= 34{,}5347784\\ \mathrm{kJ} + 11{,}3270028\\ \mathrm{kJ}\\[4pt] &=45{,}8617812\\ \mathrm{kJ}\approx 45{,}862\\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}
Observação final sobre aproximações (importante para a prova): eu usei as tabelas de saturação para obter v_f, v_g, T_1. Para o aquecimento além da saturação tratei o vapor superaque-cido como gás perfeito com R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_v constante igual a 1{,}407\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Essas aproximações são padrão em exercícios de termodinâmica quando se permite usar p\Delta V=mR\Delta T (como dada). Se você quiser maior precisão, usar propriedades internas (valores de u do vapor superaquecido em tabelas) no lugar de c_v constante é a forma mais rigorosa.]

Resposta

W=11{,}327\\ \mathrm{kJ}
Q=45{,}862\\ \mathrm{kJ}

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