Simplifica as expressões
\frac{2 x^{2}}{x^{2}-y^{2}}-\frac{2 x^{2}}{x^{2}+x y}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{2x^{2}}{x^{2}-y^{2}} \;-\;\frac{2x^{2}}{x^{2}+xy}.
Isso envolve fatorar os denominadores, encontrar o denominador comum, somar/subtrair as frações e, por fim, cancelar fatores comuns.

Passo 2

Vamos fatorar cada denominador:
O primeiro é x^{2}-y^{2}, que é diferença de quadrados, logo
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
O segundo é x^{2}+xy, que tem fator comum x, então
x^{2}+xy = x\,(x+y).

Passo 3

O denominador comum (MMC) de (x-y)(x+y) e x(x+y) é
x\,(x-y)(x+y).
Reescrevemos cada fração com esse denominador:
\frac{2x^{2}}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x^{2}\cdot x}{x\,(x-y)(x+y)} = \frac{2x^{3}}{x\,(x-y)(x+y)},
\frac{2x^{2}}{x\,(x+y)} = \frac{2x^{2}\,(x-y)}{x\,(x+y)\,(x-y)} = \frac{2x^{2}(x-y)}{x\,(x-y)(x+y)}.

Passo 4

Subtraindo as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{2x^{3}}{x\,(x-y)(x+y)} \;-\; \frac{2x^{2}(x-y)}{x\,(x-y)(x+y)} = \frac{2x^{3} - 2x^{2}(x-y)}{x\,(x-y)(x+y)}.
No numerador, fatoramos 2x^{2}:
2x^{3} - 2x^{2}(x-y) = 2x^{2}\bigl(x - (x-y)\bigr) = 2x^{2}\bigl(x - x + y\bigr) = 2x^{2}y.

Passo 5

Substituindo de volta e cancelando x comum em numerador e denominador:
\frac{2x^{2}y}{x\,(x-y)(x+y)} = \frac{2x\,y}{(x-y)(x+y)}.

Resposta

\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}.

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