Simplifica as expressões
\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-2}{3-x}+\frac{9}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma de frações racionais
\frac{x+3}{x-3} \;+\;\frac{x-2}{3-x}\;+\;\frac{9}{x^{2}-9}.
O conteúdo aqui é manipulação de frações: usar sinais, fatorar o denominador x^2-9 e colocar tudo sobre um mesmo denominador.

Passo 2

Note que
3 - x = -(x - 3),
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\frac{x-2}{3-x} = \frac{x-2}{-(x-3)} = -\frac{x-2}{x-3}.
Assim a soma fica
\frac{x+3}{x-3} \;-\;\frac{x-2}{x-3}\;+\;\frac{9}{(x-3)(x+3)}.

Passo 3

Combine as duas primeiras frações, que já têm o mesmo denominador x-3:
o numerador resultante é
(x+3) - (x-2) = x + 3 - x + 2 = 5.
Então as duas primeiras somam
\frac{5}{x-3},
e a expressão passa a ser
\frac{5}{x-3} \;+\;\frac{9}{(x-3)(x+3)}.

Passo 4

Para somar essas duas frações o denominador comum é (x-3)(x+3). Escrevendo cada termo sobre esse denominador:
\frac{5}{x-3} = \frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)},
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\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{9}{(x-3)(x+3)} = \frac{5(x+3) + 9}{(x-3)(x+3)}.
No numerador temos
5(x+3) + 9 = 5x + 15 + 9 = 5x + 24.

Passo 5

O resultado final, lembrando que x\neq \pm3, é
\frac{5x + 24}{(x-3)(x+3)}
ou, de forma equivalente,
\frac{5x+24}{x^2-9}.

Resposta

\frac{5x+24}{(x-3)(x+3)}.

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