Simplifica as expressões numéricas que se seguem.
\sqrt[3]{16}+2 \sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{54} +5 \sqrt[3]{250}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o valor numérico
\sqrt[3]{16}+2 \sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{54} +5 \sqrt[3]{250}
  • Pede-se simplificar essa expressão numérica, ou seja, escrever de forma mais compacta e reduzir termos semelhantes.

Passo 2

Lembrete: propriedades úteis das raízes cúbicas (a “aula rápida” que ajuda na prova).
  • Para quaisquer números positivos a e b vale a propriedade multiplicativa
\sqrt[3]{a b}=\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b}.
  • Em particular, se a=k^3 for um cubo perfeito (por exemplo 1,8,27,125,\dots), então
\sqrt[3]{k^3 b}=k\,\sqrt[3]{b}.
Isto é útil porque permite “fatorar” um número dentro da raiz em um cubo perfeito vezes outra coisa, e então tirar o k para fora da raiz. Exemplo rápido: \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}.

Passo 3

Aplicar a propriedade ao primeiro termo \sqrt[3]{16}.
  • Observa-se que 16=8\cdot2 e 8=2^3 é um cubo perfeito.
  • Portanto
\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot2}=\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}.

Passo 4

O segundo termo já está em forma de múltiplo de \sqrt[3]{2}:
2\sqrt[3]{2}
Não há simplificação adicional além de somá-lo com o resultado do passo anterior.

Passo 5

Somar os dois primeiros termos que agora são semelhantes (ambos múltiplos de \sqrt[3]{2}).
  • Do passo 3 temos \sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}.
  • Então
2\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}=4\sqrt[3]{2}.

Passo 6

Simplificar o terceiro termo -\sqrt[3]{54}.
  • Fatorando: 54=27\cdot2 e 27=3^3 é um cubo perfeito.
  • Logo
\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=\sqrt[3]{27}\,\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2},
e com o sinal negativo fica
-\sqrt[3]{54}=-3\sqrt[3]{2}.

Passo 7

Simplificar o quarto termo 5\sqrt[3]{250}.
  • Primeiro \sqrt[3]{250}: fatorando 250=125\cdot2 e 125=5^3 é um cubo perfeito.
  • Então
\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot2}=\sqrt[3]{125}\,\sqrt[3]{2}=5\sqrt[3]{2}.
  • Multiplicando pelo coeficiente 5 dado no enunciado:
5\sqrt[3]{250}=5\cdot\bigl(5\sqrt[3]{2}\bigr)=25\sqrt[3]{2}.

Passo 8

Agora somar todos os termos já expressos como múltiplos de \sqrt[3]{2}.
  • Dos passos anteriores temos os coeficientes: 4, -3 e 25.
  • Soma dos coeficientes:
4 + (-3) + 25 = 26.
  • Portanto a soma total é
26\sqrt[3]{2}.

Resposta

26\sqrt[3]{2}

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