Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{3-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \div \frac{3 \sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar \displaystyle \frac{3-\sqrt2}{2+\sqrt2} \div \frac{3\sqrt2}{1+\sqrt2}.
O conteúdo envolve operações com radicais, multiplicação de frações e racionalização.

Passo 2

Reescrevendo a divisão como multiplicação pelo inverso da segunda fração:
\frac{3-\sqrt2}{2+\sqrt2} \div \frac{3\sqrt2}{1+\sqrt2} = \frac{3-\sqrt2}{2+\sqrt2} \times \frac{1+\sqrt2}{3\sqrt2}.

Passo 3

Multiplicamos numeradores e denominadores:
\frac{(3-\sqrt2)(1+\sqrt2)}{3\sqrt2\,(2+\sqrt2)}.
Agora expandimos separadamente:
(3-\sqrt2)(1+\sqrt2) =3 +3\sqrt2 -\sqrt2 -2 =1+2\sqrt2,
3\sqrt2\,(2+\sqrt2) =6\sqrt2+6 =6(1+\sqrt2).
Assim a expressão fica
\frac{1+2\sqrt2}{6(1+\sqrt2)}.

Passo 4

Fatorando o numerador percebe-se que
1+2\sqrt2=(1+\sqrt2)(3-\sqrt2).
Logo
\frac{1+2\sqrt2}{6(1+\sqrt2)} =\frac{(1+\sqrt2)(3-\sqrt2)}{6(1+\sqrt2)} =\frac{3-\sqrt2}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{3-\sqrt2}{6}

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