Simplifica tanto quanto possível as seguintes expressões algébricas
\frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}-1}-\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}-1}\;-\;\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}
O conteúdo principal é racionalização de denominador e simplificação de frações algébricas.

Passo 2

Vamos racionalizar o denominador de \displaystyle \frac{2(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}-1}
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}+1, temos
\frac{2(\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} =\frac{2(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} =2\bigl(2+2\sqrt{2}+1\bigr) =2(3+2\sqrt{2}) =6+4\sqrt{2}.

Passo 3

Agora racionalizamos o denominador de \displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}
Multiplicando numerador e denominador por 2+\sqrt{2}, obtemos
\frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2} =\frac{4+4\sqrt{2}+2}{2} =\frac{6+4\sqrt{2}}{2} =3+2\sqrt{2}.

Passo 4

Subtraindo os resultados encontrados:
(6+4\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) =6-3 \;+\;(4\sqrt{2}-2\sqrt{2}) =3+2\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle 3+2\sqrt{2}

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