Simplifique cada expressão abaixo:
\frac{x^{4}-256}{x^{2}+x y+4 x+4 y} \cdot \frac{x^{2}-y^{2}}{2 x-8}

Passo 1

O enunciado pede simplificar a expressão
\frac{x^{4}-256}{x^{2}+xy+4x+4y}\;\cdot\;\frac{x^{2}-y^{2}}{2x-8}.
O conteúdo é simplificação de frações algébricas via fatoração e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{4}-256 como diferença de quadrados:
x^4 - 256 = (x^2)^2 - 16^2 = (x^2-16)(x^2+16) = (x-4)(x+4)(x^2+16).

Passo 3

Fatoramos o denominador x^{2}+xy+4x+4y por agrupamento:
x^2 + xy + 4x + 4y = x(x+y) + 4(x+y) = (x+4)(x+y).

Passo 4

Fatoramos o numerador x^{2}-y^{2} como diferença de quadrados:
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y).

Passo 5

Fatoramos o denominador 2x-8 extraindo o fator 2:
2x - 8 = 2(x-4).

Passo 6

Substituindo todos os fatores e cancelando (x+4), (x+y) e (x-4), temos
\frac{(x-4)(x+4)(x^2+16)}{(x+4)(x+y)} \;\cdot\;\frac{(x-y)(x+y)}{2(x-4)} = \frac{x^2+16}{2}\,(x-y).

Resposta

\frac{(x-y)(x^2+16)}{2}.

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