Simplifique cada expressão abaixo:
\frac{\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x y}+\frac{1}{y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\displaystyle \frac{x^{2}}{y^{2}} \;-\;\frac{y^{2}}{x^{2}}} {\displaystyle \frac{1}{x^{2}} \;+\;\frac{2}{xy}\;+\;\frac{1}{y^{2}}}
O conteúdo envolvido é manipulação de frações algébricas e fatoração. Vamos unificar cada parte num único quociente e depois usar fatoração de diferença de quadrados e quadrado perfeito.

Passo 2

No numerador temos
\frac{x^{2}}{y^{2}} \;-\;\frac{y^{2}}{x^{2}}.
O denominador comum é x^{2}y^{2}, então
\frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{4} - y^{4}}{x^{2}y^{2}}.
E fatorando x^{4}-y^{4} (diferença de quadrados duas vezes),
x^{4}-y^{4} = (x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}).
Logo o numerador vira
\frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{x^{2}y^{2}}.

Passo 3

No denominador original somamos
\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^{2}}.
Com o mesmo denominador comum x^{2}y^{2}, fica
\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{y^{2} + 2xy + x^{2}}{x^{2}y^{2}} = \frac{(x+y)^{2}}{x^{2}y^{2}}.

Passo 4

A fração original é a divisão do numerador pelo denominador, ou seja
\frac{\displaystyle \frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{x^{2}y^{2}}} {\displaystyle \frac{(x+y)^{2}}{x^{2}y^{2}}} = \frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{x^{2}y^{2}} \times \frac{x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}} = \frac{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})}{(x+y)^{2}}.

Passo 5

Agora fatoramos x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y) e cancelamos um fator (x+y) com o quadrado do denominador:
\frac{(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})}{(x+y)^{2}} = \frac{x-y}{x+y}\,(x^{2}+y^{2}) = \frac{(x-y)(x^{2}+y^{2})}{x+y}.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-y)(x^{2}+y^{2})}{x+y}

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