Simplifique cada expressão. Escreva sua resposta sem expoentes negativos.
\left(\frac{a^{2} b^{3}}{4 c d a^{2}}\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão e escrever a resposta sem expoentes negativos. A expressão dada é \left(\dfrac{a^{2} b^{3}}{4 c d a^{2}}\right)^{2}.
Informações relevantes:
  • A expressão inteira está elevada ao quadrado.
  • Há fatores iguais a^{2} no numerador e no denominador, que podem ser simplificados (desde que a\neq0).
  • Os símbolos 4, c e d estão no denominador, então é necessário que 4c d \neq 0 (ou seja, c\neq0 e d\neq0) para a expressão fazer sentido.

Passo 2

Relembre algumas regras básicas de potências que vamos usar (com explicação curta):
x^{m}x^{n}=x^{m+n}
(significa que, ao multiplicar potências de mesma base, soma-se os expoentes);
\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}
(ao dividir potências de mesma base, subtrai-se os expoentes);
(x^{m})^{n}=x^{mn}
(uma potência de potência multiplica os expoentes);
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}
(uma potência de um produto distribui o expoente para cada fator).
Essas regras são valiosas para simplificar expressões com expoentes.

Passo 3

Primeiro simplificamos o que está dentro dos parênteses:
\frac{a^{2} b^{3}}{4 c d a^{2}}.
Aplicando a regra da divisão de potências de mesma base para o fator a:
\frac{a^{2}}{a^{2}}=a^{2-2}=a^{0}=1.
Portanto os fatores a^{2} anulam-se e o conteúdo dos parênteses fica
\frac{b^{3}}{4 c d}.

Passo 4

Agora elevamos essa fração ao quadrado usando (\frac{x}{y})^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}:
\left(\frac{b^{3}}{4 c d}\right)^{2}=\frac{(b^{3})^{2}}{(4 c d)^{2}}.

Passo 5

Calcule o numerador usando (b^{3})^{2}=b^{3\cdot2}=b^{6}:
(b^{3})^{2}=b^{6}.

Passo 6

Calcule o denominador usando a distribuição do expoente e potência de constante:
(4 c d)^{2}=4^{2}c^{2}d^{2}=16 c^{2} d^{2}.
Aqui aplicou-se (xy)^{2}=x^{2}y^{2} e 4^{2}=16.

Passo 7

Juntando numerador e denominador temos a forma totalmente simplificada, sem expoentes negativos:
\frac{b^{6}}{16 c^{2} d^{2}}.
Essa é a expressão final; lembre-se que é válida quando a\neq0, c\neq0 e d\neq0.

Resposta

\dfrac{b^{6}}{16 c^{2} d^{2}}

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