Simplifique cada expressão. Escreva sua resposta sem expoentes negativos.
\sqrt[3]{20 t^{3}}-\sqrt[3]{3 t}

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a expressão
\sqrt[3]{20 t^{3}}-\sqrt[3]{3 t},
escrevendo a resposta sem expoentes negativos. Informação dada: os dois termos são radicais do tipo raiz cúbica envolvendo t.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades úteis das raízes cúbicas (isso é aula rápida e prática para a prova):
  • Para qualquer a e b reais vale
\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b}.
Isto significa que podemos separar fatores dentro da raiz em produtos de raízes.
  • Para qualquer número real x vale
\sqrt[3]{x^{3}}=x.
Diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica de x^{3} é exatamente x para todo real x (não precisamos nos preocupar com sinal).

Passo 3

Aplique a propriedade ao primeiro termo \sqrt[3]{20 t^{3}}. Separe o fator t^{3} do 20:
\sqrt[3]{20 t^{3}}=\sqrt[3]{20}\,\sqrt[3]{t^{3}}.
Usando \sqrt[3]{t^{3}}=t obtemos
\sqrt[3]{20 t^{3} } = \sqrt[3]{20}\,t.

Passo 4

Agora o segundo termo \sqrt[3]{3 t}. Separe os fatores:
\sqrt[3]{3 t}=\sqrt[3]{3}\,\sqrt[3]{t}.

Passo 5

Reescrevemos a expressão usando os resultados dos passos anteriores:
\sqrt[3]{20 t^{3}}-\sqrt[3]{3 t} = \sqrt[3]{20}\,t - \sqrt[3]{3}\,\sqrt[3]{t}.
Para fatorar um fator comum, é conveniente extrair \sqrt[3]{t} dos dois termos. Para isso escrevemos t como produto de raízes cúbicas:
t=\sqrt[3]{t^{3}}=\sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{t^{2}}.
Substituindo em \sqrt[3]{20}\,t temos
\sqrt[3]{20}\,t = \sqrt[3]{20}\,\sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{t^{2}} = \sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{20 t^{2}}.
O outro termo já é \sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{3}.

Passo 6

Agora podemos fatorar \sqrt[3]{t} da diferença:
\sqrt[3]{20 t^{3}}-\sqrt[3]{3 t} = \sqrt[3]{t}\,\bigl(\sqrt[3]{20 t^{2}}-\sqrt[3]{3}\bigr).
Esse é um formato fatorado e simplificado. Não há expoentes negativos e não existem fatores inteiros extraíveis da raiz que simplifiquem \sqrt[3]{20 t^{2}} (porque 20 não tem fator cúbico além de 1).

Passo 7

Resumo didático rápido: o truque foi usar \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} e escrever t=\sqrt[3]{t}\sqrt[3]{t^{2}} para poder fatorar \sqrt[3]{t}. Isso é útil em prova porque transforma termos com potências diferentes de t em um fator comum de raiz cúbica.

Resposta

\sqrt[3]{t}\,\bigl(\sqrt[3]{20 t^{2}}-\sqrt[3]{3}\bigr)

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