Simplifique a expressão e elimine os expoentes negativos. Assuma que todas as letras denotam números positivos.
j) \sqrt[3]{y \sqrt{y}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos. A expressão dada é \sqrt[3]{y \sqrt{y}}. Informação importante: todas as letras denotam números positivos (isso evita precisar de valor absoluto em raízes pares). A tarefa é obter uma forma mais simples (p.ex. potência ou radical) sem expoentes negativos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever as raízes como potências racionais (isso facilita usar as regras de potências). Lembre que a raiz enésima corresponde a potência com expoente 1/n. Assim:
\sqrt{y} = y^{1/2}
e
\sqrt[3]{\;\cdot\;} = (\cdot)^{1/3}.

Passo 3

Substituo \sqrt{y} por y^{1/2} dentro da expressão original:
\sqrt[3]{y \sqrt{y}} = \sqrt[3]{y \cdot y^{1/2}}.

Passo 4

Agora uso a regra de potências que diz que, para a mesma base, somamos os expoentes ao multiplicar: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Aplicando em y \cdot y^{1/2} (note que y = y^{1}):
y \cdot y^{1/2} = y^{1} \cdot y^{1/2} = y^{1 + 1/2} = y^{3/2}.

Passo 5

Reescrevo a raiz cúbica como potência 1/3 e aplico a regra de potência de potência: (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}. Assim:
\sqrt[3]{y^{3/2}} = \bigl(y^{3/2}\bigr)^{1/3} = y^{(3/2)\cdot(1/3)}.

Passo 6

Calculo o produto dos expoentes:
(3/2)\cdot(1/3) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{3\cdot 1}{2\cdot 3} = \frac{1}{2}.
Portanto a potência fica y^{1/2}.

Passo 7

Interpretando y^{1/2} como radical, temos \sqrt{y}. Como o enunciado garante que y é positivo, não precisamos nos preocupar com valor absoluto. Não apareceram expoentes negativos em nenhum passo, e a forma final é simples e sem expoentes negativos.

Resposta

\sqrt{y}

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