Simplifique a expressão e elimine os expoentes negativos. Assuma que todas as letras denotam números positivos.
e) \left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\right)^{4}\left(\frac{x^{-2}}{y^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e eliminar expoentes negativos da expressão
\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\right)^{4}\left(\frac{x^{-2}}{y^{3}}\right),
assumindo que todas as letras representam números positivos. Lista das informações relevantes:
  • A expressão dada é exatamente \left(\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\right)^{4}\left(\dfrac{x^{-2}}{y^{3}}\right).
  • Todas as variáveis são positivas (isso permite, por exemplo, trocar sinais em expoentes racionais sem preocupação com sinais).
    A partir daqui vamos simplificar passo a passo.

Passo 2

Regra útil 1 — potências com expoente negativo e divisão: para qualquer número positivo a e qualquer expoente n, vale
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},
e portanto
\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}.
Aplicando isso ao denominador y^{-\frac{1}{2}} dentro do parêntese, temos
\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{-\frac{1}{2}}}=x^{\frac{3}{2}}\cdot y^{\frac{1}{2}}.
Explicando: dividir por y^{-\frac{1}{2}} é o mesmo que multiplicar por y^{\frac{1}{2}}. Um exemplo numérico curto para ver a ideia: \dfrac{2}{3^{-1}}=2\cdot 3^{1}=6.

Passo 3

Regra útil 2 — potência de um produto e potência de potência: para bases positivas a,b e expoente m,
(ab)^{m}=a^{m}b^{m}, \qquad (a^{p})^{q}=a^{pq}.
Usando isso, elevo ao quarto o produto obtido no passo anterior:
\left(x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}}\right)^{4}=x^{\frac{3}{2}\cdot 4}\,y^{\frac{1}{2}\cdot 4}.
Agora calculo os produtos dos expoentes:
\frac{3}{2}\cdot 4 = 3\cdot 2 = 6, \qquad \frac{1}{2}\cdot 4 = 2.
Logo
\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\right)^{4}=x^{6}y^{2}.

Passo 4

Agora multiplicamos o resultado do passo anterior pela segunda fração da expressão original:
x^{6}y^{2}\cdot\frac{x^{-2}}{y^{3}}.
Regra útil 3 — multiplicação de potências de mesma base: ao multiplicar potências com a mesma base somam-se os expoentes. Assim, para a base x:
x^{6}\cdot x^{-2}=x^{6+(-2)}=x^{4}.
Para a base y:
y^{2}\cdot y^{-3}=y^{2+(-3)}=y^{-1}.
Portanto o produto fica
x^{4}y^{-1}.

Passo 5

Eliminar expoentes negativos: usamos novamente a regra a^{-n}=1/a^{n}. Para y^{-1} isso dá
y^{-1}=\frac{1}{y}.
Aplicando isso ao resultado do passo anterior obtemos
x^{4}y^{-1}=\frac{x^{4}}{y}.

Passo 6

Checagem rápida: todos os expoentes negativos foram eliminados e o resultado está numa forma simplificada, com potências positivas e uma única fração. Portanto a simplificação final é
\frac{x^{4}}{y}.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{y}

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