- Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função
.
Informações fornecidas: a função é dada explicitamente por .
Objetivo: encontrar a parte par (função par associada) e a parte ímpar (função ímpar associada) dessa .
Informações fornecidas: a função é dada explicitamente por
Objetivo: encontrar a parte par (função par associada) e a parte ímpar (função ímpar associada) dessa
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (com calma) o que são as componentes par e ímpar de uma função — afinal, isso é o que vamos usar passo a passo.
A componente par de uma função é a função
A componente par de uma função
e a componente ímpar é
Explicação do porquê: somando
com
as partes ímpares (que mudam de sinal ao trocar
por
) se cancelam e sobra só a parte par; subtraindo, as partes pares se cancelam e sobra só a parte ímpar. Essas fórmulas são padrão e são o instrumento que usaremos.
Passo 3
Para trabalhar de forma direta, é mais simples expandir a expressão original. Vamos multiplicar em etapas e explicar cada passo. Temos
Primeiro multiplicamos
. Usamos a distributiva (cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo):
Calculando cada produto:
Somando esses termos:
Agora multiplicamos por
:
Foi só organização polinomial — fica mais fácil trabalhar com potências separadas.
Passo 4
Precisamos também de
. Substituímos
por
na expressão expandida
:
Calcule cada termo lembrando de como as potências afetam o sinal:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos a componente par usando a fórmula. Colocamos
e
e somamos:
Somando termo a termo:
Logo o numerador fica
. Dividindo por
:
Observação intuitiva: termos com potências pares de
(como
) são naturalmente pares; os termos com potências ímpares (como
e
) são ímpares. A soma cancela os ímpares e duplica os pares, por isso veio só
.
Passo 6
Agora a componente ímpar:
Fazendo a subtração termo a termo (preste atenção nos sinais):
Assim o numerador é
. Dividindo por
:
Isso bate com a intuição: restaram apenas os termos com potências ímpares.
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): somando as componentes obtemos de volta
:
que é exatamente
expandida. Além disso:
é par, e
é ímpar. Tudo consistente.