1. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
    f) g(t)=t(2-t)(1+4 t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função g(t)=t(2-t)(1+4 t).
Informações fornecidas: a função é dada explicitamente por g(t)=t(2-t)(1+4 t).
Objetivo: encontrar a parte par (função par associada) e a parte ímpar (função ímpar associada) dessa g(t).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (com calma) o que são as componentes par e ímpar de uma função — afinal, isso é o que vamos usar passo a passo.
A componente par de uma função g é a função
g_{\text{par}}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2},
e a componente ímpar é
g_{\text{ímpar}}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}.í
Explicação do porquê: somando g(t) com g(-t) as partes ímpares (que mudam de sinal ao trocar t por -t) se cancelam e sobra só a parte par; subtraindo, as partes pares se cancelam e sobra só a parte ímpar. Essas fórmulas são padrão e são o instrumento que usaremos.

Passo 3

Para trabalhar de forma direta, é mais simples expandir a expressão original. Vamos multiplicar em etapas e explicar cada passo. Temos
g(t)=t(2-t)(1+4t).
Primeiro multiplicamos (2-t)(1+4t). Usamos a distributiva (cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo):
(2-t)(1+4t)=2\cdot1 + 2\cdot4t + (-t)\cdot1 + (-t)\cdot 4t.
Calculando cada produto:
2\cdot1=2,\quad 2\cdot4t=8t,\quad (-t)\cdot1=-t,\quad (-t)\cdot4t=-4t^2.
Somando esses termos:
(2-t)(1+4t)=2 + 8t - t - 4t^2 = 2 + 7t - 4t^2.
Agora multiplicamos por t:
g(t)=t(2 + 7t - 4t^2)=2t + 7t^2 - 4t^3.
Foi só organização polinomial — fica mais fácil trabalhar com potências separadas.

Passo 4

Precisamos também de g(-t). Substituímos t por -t na expressão expandida 2t + 7t^2 - 4t^3:
g(-t)=2(-t) + 7(-t)^2 - 4(-t)^3.
Calcule cada termo lembrando de como as potências afetam o sinal:
2(-t)=-2t,\quad 7(-t)^2=7t^2\\ (\text{o quadrado elimina o sinal}),\quad -4(-t)^3=-4(-t^3)=4t^3.
Portanto
g(-t)=4t^3 + 7t^2 - 2t.

Passo 5

Agora calculamos a componente par usando a fórmula. Colocamos g(t) e g(-t) e somamos:
g_{\text{par}}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2}=\frac{(2t + 7t^2 - 4t^3) + (4t^3 + 7t^2 - 2t)}{2}.
Somando termo a termo:
2t + (-2t) = 0,\quad 7t^2 + 7t^2 = 14t^2,\quad -4t^3 + 4t^3 = 0.
Logo o numerador fica 14t^2. Dividindo por 2:
g_{\text{par}}(t)=\frac{14t^2}{2}=7t^2.
Observação intuitiva: termos com potências pares de t (como t^2) são naturalmente pares; os termos com potências ímpares (como t e t^3) são ímpares. A soma cancela os ímpares e duplica os pares, por isso veio só 7t^2.

Passo 6

Agora a componente ímpar:
g_{\text{ímpar}}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}=\frac{(2t + 7t^2 - 4t^3) - (4t^3 + 7t^2 - 2t)}{2}.í
Fazendo a subtração termo a termo (preste atenção nos sinais):
2t - (-2t)=2t+2t=4t,\quad 7t^2-7t^2=0,\quad -4t^3-4t^3=-8t^3.
Assim o numerador é -8t^3+4t. Dividindo por 2:
g_{\text{ímpar}}(t)=\frac{-8t^3+4t}{2}=-4t^3+2t.í
Isso bate com a intuição: restaram apenas os termos com potências ímpares.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): somando as componentes obtemos de volta g(t):
g_{\text{par}}(t)+g_{\text{ímpar}}(t)=7t^2 + (-4t^3+2t)= -4t^3 +7t^2 +2t,í
que é exatamente g(t) expandida. Além disso:
g_{\text{par}}(-t)=7(-t)^2=7t^2=g_{\text{par}}(t)
é par, e
g_{\text{ímpar}}(-t)=-4(-t)^3+2(-t)=4t^3-2t=-( -4t^3+2t)= -g_{\text{ímpar}}(t),íí
é ímpar. Tudo consistente.

Resposta

g_{\text{par}}(t)=7t^2
g_{\text{ímpar}}(t)=-4t^3+2tí

Exercícios relacionados